Innhold

• Å trå
• Tips

Som en graf se en kvadratisk ligning øks + bx + c , også som er skrevet som a (x - h) + k, ser ut som en jevn kurve i en U-form. Vi kaller denne parabel. Å tegne en kvadratisk ligning innebærer å finne toppunktet, retningen og ofte skjæringspunktene med x-aksen og y-aksen. Når det gjelder den relativt enkle kvadratiske ligningen, kan det også være tilstrekkelig å angi et antall verdier for x for å indikere disse punktene i koordinatsystemet, hvoretter parabolen kan tegnes. Fortsett til trinn 1 for å komme i gang.

Å trå

1. Bestem hva slags andregradsligning du har. Det kan skrives på to måter: standardnotasjonen og toppunktnotasjonen (en annen måte å skrive kvadratrotformelen på). Du kan bruke begge til å lage en graf av en kvadratisk ligning, men prosessen er litt forskjellig i hvert tilfelle. Mesteparten av tiden vil du møte standardformen, men det skader absolutt ikke å lære å bruke begge figurene. De to formene for en kvadratisk ligning er:
   • Standardformen. Den kvadratiske ligningen er angitt som: f (x) = ax + bx + c hvor a, b og c er reelle tall og a ikke er lik null.
     • To eksempler på standard kvadratiske ligninger: f (x) = x + 2x + 1 og f (x) = 9x + 10x -8.
   • Toppunktformen. Den kvadratiske ligningen er angitt som: f (x) = a (x - h) + k hvor a, h og k er reelle tall og a ikke er lik null. Denne formen kalles toppunkt fordi h og k refererer direkte til toppen av parabolen din på punktet (h, k).
     • To eksempler på toppunktformlikninger er f (x) = 9 (x - 4) + 18 og -3 (x - 5) + 1
   • For å lage en graf av disse ligningene, bestemmer vi først toppen (h, k) av grafen. I standardligningen finner du dette via: h = -b / 2a og k = f (h), mens dette allerede er gitt i toppunktform fordi h og k forekommer i ligningen.
2. Bestem variablene dine. For å løse en kvadratisk ligning er det vanligvis nødvendig å bestemme variablene a, b og c (eller a, h og k). En vanlig øvelse vil gi deg en andregrads ligning i standardform, men toppunktnotasjonen kan også forekomme.
   • For eksempel: standardfunksjonen f (x) = 2x + 16x + 39. Her har vi a = 2, b = 16, og c = 39.
   • I toppunktnotasjon: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Her har vi a = 4, h = 5 og k = 12.
3. Beregn h. I toppunktnotasjonen er verdien av h allerede gitt, men i standardnotasjonen er denne verdien ennå ikke beregnet. Husk at med standard ligningen holder: h = -b / 2a.
   • Eksempel 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Ved å løse dette ser vi at h = -4.
   • Eksempel 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), ser vi straks at h = 5.
4. Beregn k. Som med h, er k allerede kjent fra ligningene i toppunktform. For ligninger i standardnotasjon, husk at k = f (h). Med andre ord kan du finne k ved å erstatte en hvilken som helst variabel x med verdien av h.
   • Vi har for eksempel sett 1 at h = -4. For å finne k, løser vi denne ligningen ved å fylle ut denne verdien av h i ligningen, for variabelen x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Fra eksempel 2 vet vi at verdien av k er lik 12, uten behov for noen beregning.
5. Tegn toppen eller bunnen av grafen. Toppunktet eller dalen i parabolen er poenget (h, k) - h står for x-koordinaten og k står for y-koordinaten. Toppunktet er sentrum av parabolen din - det høyeste eller laveste punktet, toppunktet eller dalen, i en graf i form av et "U" eller omvendt.Å være i stand til å bestemme toppen av en parabel er en viktig del av å tegne en riktig graf - ofte er det å bestemme toppen av en parabel en del av et matematisk problem på skolen.
   • I eksempel 1 er toppen av grafen (-4,7). Tegn punktet på grafen din og sørg for at du navngir koordinatene riktig.
   • I eksempel 2 er toppen (5.12). Så fra punktet (0,0) går du fem steder til høyre og deretter opp 12.
6. Tegn om nødvendig symmetriaksen til parabolen. Symmetriaksen til en parabel er linjen som krysser figuren i midten og deler den nøyaktig i to. Den ene siden av grafen speiles langs denne linjen i den andre siden av grafen. I kvadratiske ligninger av enten ax + bx + c eller a (x - h) + k, er denne aksen linjen parallell med y-aksen som går gjennom toppunktet på parabolen.
   • I tilfelle av eksempel 1 er symmetriaksen linjen parallell med y-aksen og passerer gjennom punktet (-4,7). Selv om det ikke er en del av parabolen i seg selv, kan det lett å markere denne retningslinjen vise deg hvor symmetrisk parabolkurven er.
7. Bestem retningen på parabolen. Etter at du har funnet ut hva parabolen er, er det nødvendig å vite om du har å gjøre med et fjell eller en dalparabel, dvs. om åpningen er i bunnen eller på toppen. Heldigvis er dette veldig enkelt. Hvis "a" er positivt, har du å gjøre med en dalparabel; hvis "a" er negativt, er det en fjellparabel (med åpningen nederst)
   • I eksempel 1 har vi å gjøre med funksjonen (f (x) = 2x + 16x + 39), så dette er en dalparabel, fordi a = 2 (positiv).
   • I eksempel 2 har vi å gjøre med funksjonen f (x) = 4 (x - 5) + 12), og dette er også en dalparabel fordi a = 4 (positiv).
8. Bestem om nødvendig skjæringspunktene til parabolen. Ofte når et matematisk problem blir bedt om å gi skjæringspunktet mellom parabolen og x-aksen (disse er "null", en eller to punkter der parabolen krysser eller treffer x-aksen). Selv om ikke dette blir bedt om, er disse punktene veldig viktige for å kunne tegne en nøyaktig graf. Men ikke alle paraboler har et skjæringspunkt med x-aksen. Hvis du har å gjøre med en dalparabel og dalpunktet er over x-aksen, eller, i tilfelle av en fjellparabel, like under x-aksen, er det ganske enkelt ingen skjæringspunkter å finne. Bruk i så fall en av følgende metoder:
   • Bestem at f (x) = 0 og løs ligningen. Denne metoden kan fungere for enkle kvadratiske ligninger, spesielt i toppunktform, men du vil oppdage at dette blir stadig vanskeligere etter hvert som funksjonene blir mer komplekse. Nedenfor er noen eksempler.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er skjæringspunktene med parabelens x-akse.
   • Faktor ligningen. Noen ligninger i formen ax + bx + c kan enkelt skrives om som (dx + e) ​​(fx + g), hvor dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfellet er x-skjæringspunktene verdiene til x der hvert begrep innenfor parentes blir lik 0. For eksempel:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • I dette tilfellet er skjæringspunktet -1 fordi dette, gitt i begge faktorer, gir null.
   • Bruk abc-formelen. Hvis det ikke er lett å finne ut av skjæringspunktene, eller faktorisere ligningen, bruk "abc-formelen" spesielt for dette formålet. Anta en ligning i form ax + bx + c. Skriv deretter inn verdiene til a, b og c, i formelen x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Merk at dette ofte gir deg to svar for x, noe som er greit - det betyr bare at parabolen har to kryss med x-aksen. Her er et eksempel:
     • Skriv inn -5x + 1x + 10 i ligningen på følgende måte:
     • x = (-1 +/- SqRt (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) og (-15,18 / -10). Skjæringspunktene til parabolen med x-aksen er omtrent x = -1,318 og 1,518
     • Som i eksempel 1 med ligningen 2x + 16x + 39, vil dette se slik ut:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Siden det ikke er mulig å finne kvadratroten til et negativt tall, vet vi at det ikke er noen skjæringspunkter med x-aksen for denne spesielle parabolen.
9. Bestem om nødvendig skjæringspunktet mellom parabolen og y-aksen. Det er ofte ikke nødvendig, men noen ganger nødvendig å finne dette skjæringspunktet, for eksempel for et matematisk problem. Dette er ganske enkelt - sett verdien x til 0 og løs ligningen for f (x) eller y, som gir deg y-verdien til punktet der parabolen krysser y-aksen. Forskjellen med skjæringspunktene gjennom x-aksen er at det på y-aksen alltid bare er ett skjæringspunkt. Merk - med standard ligninger er skjæringspunktet med y-aksen ved y = c.
   • For eksempel vet vi at den kvadratiske ligningen 2x + 16x + 39 har et skjæringspunkt y = 39, men vi kan også finne dette som følger:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Skjæringspunktet mellom parabolen og y-aksen: y = 39. Som angitt ovenfor kan vi enkelt lese skjæringspunktet fordi y = c.
   • Ligningen 4 (x - 5) + 12 har et skjæringspunkt med y-aksen som kan bli funnet som følger:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Krysset med y-aksen: y = 112.
10. Hvis du mener dette er nødvendig, må du først tegne ekstra poeng og deretter hele grafen. Du bør nå ha en topp eller en dal, en retning, skjæringspunkter med x-aksen og muligens med y-aksen til ligningen din. Fra dette punktet kan du prøve å tegne parabolen ved hjelp av disse punktene, eller du kan prøve å finne flere poeng for å gjøre grafen mer nøyaktig. Den enkleste måten å gjøre dette på er ganske enkelt å angi et antall x-verdier, som vil returnere et antall y-verdier. Du blir ofte bedt (av læreren) om å beregne et antall poeng før du kan begynne å tegne parabolen.
    • La oss se på ligningen x + 2x + 1. Vi vet allerede at det eneste skjæringspunktet med x-aksen er (-1,0). Siden den bare berører x-aksen på dette punktet, kan vi utlede at toppen av grafen er lik dette punktet. Så langt har vi bare ett poeng av denne parabolen - ikke nær nok til å tegne en graf. La oss finne noen flere poeng for å sikre at vi har flere verdier.
      • La oss prøve å finne y-verdiene som tilsvarer følgende x-verdier: 0, 1, -2 og -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Deretter punktet (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Deretter punktet (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Deretter punktet (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Deretter punktet (-3,4).
      • Plasser disse punktene i grafen og tegne parabolen. Merk at parabolen er helt symmetrisk - hvis du kjenner punktene på den ene siden av grafen, kan du vanligvis spare deg for mye arbeid ved å bruke disse punktene til å finne punktene på den andre siden av symmetriaksen.

Tips

• Om nødvendig kan du runde tall eller bruke brøker. Dette kan bidra til å vise et diagram riktig.
• Merk at hvis, for funksjonen f (x) = ax + bx + c, b eller c er lik null, vil disse begrepene forsvinne. For eksempel blir 12x + 0x + 6 lik 12x + 6 fordi 0x er lik 0.