Innhold

• Trinn
• Metode 1 av 3: Faktorisering av en ligning
• Metode 2 av 3: Bruke den kvadratiske formelen
• Metode 3 av 3: Fullføring av torget
• Tips

En kvadratisk ligning er en ligning der den største effekten til en variabel er 2. Det er tre hovedmåter for å løse kvadratiske ligninger: faktoriser kvadratisk ligning, hvis mulig, bruk kvadratisk formel, eller fullfør kvadratet. Vil du vite hvordan alt dette gjøres? Les videre.

Trinn

Metode 1 av 3: Faktorisering av en ligning

1. 1 Legg til alle de lignende elementene og overfør dem til den ene siden av ligningen. Dette vil være det første trinnet, altså ${ displaystyle x ^ {2}}$ i dette tilfellet bør det forbli positivt. Legg til eller trekk fra alle verdier ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ og konstant, overføre alt til den ene delen og la 0 i den andre. Slik gjør du det:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktor uttrykket. For å gjøre dette må du bruke verdiene ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konstante verdier (-4), må de multipliseres og dannes -11. Slik gjør du det:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ har bare to mulige faktorer: ${ displaystyle 3x}$ og ${ displaystyle x}$slik at de kan skrives i parentes: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Deretter erstatter vi faktorene 4, og finner kombinasjonen som, når den multipliseres, gir -11x. Du kan bruke en kombinasjon av 4 og 1, eller 2 og 2, siden begge gir 4. Husk at verdiene må være negative, fordi vi har -4.
   • Gjennom prøving og feiling får du kombinasjonen ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Når vi multipliserer, får vi ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Ved å koble til ${ displaystyle -12x}$ og ${ displaystyle x}$, får vi mellomtiden ${ displaystyle -11x}$som vi lette etter. Den kvadratiske ligningen er faktorisert.
   • La oss for eksempel prøve en uegnet kombinasjon: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombinere får vi ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Selv om faktorene -2 og 2 multipliserer til -4, fungerer ikke midtre sikt, fordi vi ønsket å få det ${ displaystyle -11x}$, men ikke ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Lik hvert uttrykk i parentes til null (som separate ligninger). Slik finner vi to betydninger ${ displaystyle x}$hvor hele ligningen er lik null, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Nå gjenstår det å likestille hvert av uttrykkene i parentes til null. Hvorfor? Poenget er at produktet er lik null når minst en av faktorene er lik null. Som ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ er null, så er enten (3x + 1) eller (x - 4) null. Skrive ned ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ og ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Løs hver ligning for seg. I en kvadratisk ligning har x to betydninger. Løs ligningene og skriv ned x -verdiene:
   • Løs ligningen 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... ved å trekke fra
     • 3x / 3 = -1/3 ..... ved å dele
     • x = -1/3 ..... etter forenkling
   • Løs ligningen x - 4 = 0
     • x = 4 ..... ved å trekke fra
   • x = (-1/3, 4) ..... mulige verdier, dvs. x = -1/3 eller x = 4.
5. 5 Sjekk x = -1/3 ved å koble denne verdien til (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... ved bytte
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... etter forenkling
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... etter multiplikasjon
   • 0 = 0, så x = -1/3 er det riktige svaret.
6. 6 Kontroller x = 4 ved å koble denne verdien til (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... ved bytte
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... etter forenkling
   • (13) (0) = 0 ..... etter multiplikasjon
   • 0 = 0, derfor er x = 4 det riktige svaret.
   • Dermed er begge løsningene riktige.

Metode 2 av 3: Bruke den kvadratiske formelen

1. 1 Kombiner alle begrepene og skriv ned på den ene siden av ligningen. Lagre verdien ${ displaystyle x ^ {2}}$ positiv. Skriv begrepene i avtagende grader, dermed begrepet ${ displaystyle x ^ {2}}$ stavet først, da ${ displaystyle x}$ og deretter en konstant:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Skriv ned formelen for røttene til en kvadratisk ligning. Formelen ser slik ut: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Bestem verdiene til a, b og c i en kvadratisk ligning. Variabel en er koeffisienten for begrepet x, b - medlem x, c - konstant. For ligning 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 og c = -8. Skriv det ned.
4. 4 Sett inn verdiene for a, b og c i ligningen. Når du kjenner verdiene til de tre variablene, kan du koble dem til ligningen som følger:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Telle det opp. Erstatt verdiene, forenkle fordeler og ulemper, og multipliser eller kvadrer de resterende begrepene:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Forenkle kvadratroten. Hvis kvadratroten er en firkant, får du et heltall. Hvis ikke, forenkle den til den enkleste rotverdien. Hvis tallet er negativt, og du er sikker på at det må være negativt, da vil røttene være komplekse. I dette eksemplet √ (121) = 11. Du kan skrive at x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Finn positive og negative løsninger. Hvis du har fjernet kvadratrottegnet, kan du fortsette til du finner positive og negative x -verdier. Etter å ha (5 +/- 11) / 6, kan du skrive:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Finn positive og negative verdier. Bare telle:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Forenkle. For å gjøre dette, bare dele begge med den største fellesfaktoren. Del den første fraksjonen med 2, den andre med 6, x er funnet.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metode 3 av 3: Fullføring av torget

1. 1 Flytt alle termer til den ene siden av ligningen.en eller x må være positiv. Dette gjøres slik:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • I denne ligningen en: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Overføringsmedlem c (permanent) til den andre siden. En konstant er et begrep i en ligning som bare inneholder en numerisk verdi, uten variabler.Flytt den til høyre side:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Del begge delene etter faktor en eller x. Hvis x ikke har noen koeffisient, er den lik en og dette trinnet kan hoppes over. I vårt eksempel deler vi alle medlemmer med 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Dele opp b med 2, firkant og legg til på begge sider. I vårt eksempel b er lik -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Forenkle begge sider. Kvadratér vilkårene til venstre for å få (x-3) (x-3) eller (x-3). Legg til vilkårene til høyre for å lage 9/2 + 9, eller 9/2 + 18/2, som er 27/2.
6. 6 Trekk ut kvadratroten på begge sider. Kvadratroten til (x-3) er ganske enkelt (x-3). Kvadratroten til 27/2 kan skrives som ± √ (27/2). Dermed er x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Forenkle radikalt uttrykk og finn x. For å forenkle ± √ (27/2), finn den perfekte firkanten i tallene 27 og 2, eller faktorene deres. I 27 er det en fullstendig firkant på 9, fordi 9 x 3 = 27. For å utlede 9 fra rottegnet, ta roten fra det og trekk 3 fra rottegnet. La 3 stå i tellerne av brøkdelen under rottegnet, siden denne faktoren ikke kan trekkes ut, og la også 2 stå nederst. Flytt deretter konstanten 3 fra venstre side av ligningen til høyre side og skriv ned de to løsningene for x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tips

• Hvis tallet under rottegnet ikke er en fullstendig firkant, utføres de siste trinnene litt annerledes. Her er et eksempel:
• Som du kan se, har rottegnet ikke forsvunnet. På denne måten kan ikke begrepene i tellerne kombineres. Da er det ingen vits i å dele pluss eller minus. I stedet deler vi alle vanlige faktorer - men bare hvis den faktoren som er felles for konstanten og rotkoeffisient.