Hvordan dele matriser

Video: Hvordan lage online spørreundersøkelse med Forms for Excel 🤓

Innhold

Kort oppsummering
Trinn
Del 1 av 3: Testing av matrisens delbarhet
Del 2 av 3: Finne den omvendte matrisen
Del 3 av 3: Matrisemultiplikasjon
Tips
Advarsler
Flere artikler

Hvis du vet hvordan du multipliserer to matriser, kan du begynne å "dele" matrisene. Ordet "divisjon" er omsluttet av anførselstegn, fordi matriser faktisk ikke kan deles. Divisjonsoperasjonen erstattes av operasjonen med å multiplisere en matrise med en matrise som er invers av den andre matrisen. For enkelhets skyld, tenk på et eksempel med heltall: 10 ÷ 5. Finn det gjensidige av 5: 5 eller /₅, og erstatt deretter divisjon med multiplikasjon: 10 x 5; resultatet av divisjon og multiplikasjon vil være det samme. Derfor antas det at divisjon kan erstattes av multiplikasjon med den inverse matrisen. Vanligvis brukes slike beregninger for å løse systemer med lineære ligninger.

Kort oppsummering

Du kan ikke dele matriser. I stedet for å dele, multipliseres en matrise med inversen av den andre matrisen. "Inndeling" av to matriser [A] ÷ [B] skrives som følger: [A] * [B] eller [B] * [A].
Hvis matrise [B] ikke er firkantet, eller hvis dens determinant er 0, skriver du ned "ingen entydig løsning." Ellers finner du determinanten for matrisen [B] og går til neste trinn.
Finn det inverse: [B].
Multipliser matriser for å finne [A] * [B] eller [B] * [A]. Husk at rekkefølgen matrisene multipliseres i påvirker det endelige resultatet (det vil si at resultatene kan variere).

Trinn

Del 1 av 3: Testing av matrisens delbarhet

1 Forstå "inndelingen" av matriser. Matriser kan faktisk ikke deles. Det er ingen matematisk operasjon som "å dele en matrise med en annen". Divisjon erstattes med å multiplisere en matrise med inversen av den andre matrisen. Det vil si at notasjonen [A] ÷ [B] ikke er riktig, så den erstattes med følgende notasjon: [A] * [B]. Siden begge oppføringene er likeverdige når det gjelder skalarverdier, kan vi teoretisk snakke om "inndeling" av matriser, men det er fortsatt bedre å bruke riktig terminologi.
- Vær oppmerksom på at [A] * [B] og [B] * [A] er forskjellige operasjoner. Det kan være nødvendig å utføre begge operasjonene for å finne alle mulige løsninger.
- For eksempel, i stedet for ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ skrive ned ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Du må kanskje beregne ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ for å få et annet resultat.
2 Sørg for at matrisen du "deler" den andre matrisen med er firkantet. For å snu en matrise (finn det inverse av en matrise) må den være firkantet, det vil si med samme antall rader og kolonner. Hvis den inverterte matrisen ikke er invers, er det ingen bestemt løsning.
- Igjen, matrisene er ikke "delbare" her. I drift [A] * [B] refererer den beskrevne tilstanden til matrisen [B]. I vårt eksempel refererer denne tilstanden til matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- En matrise som kan inverteres kalles ikke-degenerert eller vanlig. En matrise som ikke kan inverteres kalles degenerert eller entall.
3 Sjekk om de to matrisene kan multipliseres. For å multiplisere to matriser må antall kolonner i den første matrisen være lik antall rader i den andre matrisen. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt i oppføringen [A] * [B] eller [B] * [A], er det ingen løsning.
- For eksempel, hvis størrelsen på matrisen [A] er 4 x 3 og størrelsen på matrisen [B] er 2 x 2, er det ingen løsning. Du kan ikke multiplisere [A] * [B] fordi 4 ≠ 2, og du kan ikke multiplisere [B] * [A] fordi 2 ≠ 3.
- Vær oppmerksom på at den inverse matrisen [B] alltid har samme antall rader og kolonner som den opprinnelige matrisen [B]. Det er ikke nødvendig å finne den inverse matrisen for å kontrollere at to matriser kan multipliseres.
- I vårt eksempel er størrelsen på begge matrisene 2 x 2, slik at de kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge.
4 Finn determinanten for 2 × 2 -matrisen. Husk: du kan bare invertere en matrise hvis dens determinant ikke er null (ellers kan du ikke invertere matrisen). Slik finner du determinanten til en 2 x 2 matrise:
- 2 x 2 Matrise: determinant for en matrise ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ er lik ad - bc. Det vil si at fra produktet av elementene i hoveddiagonalen (passerer gjennom øvre venstre og nedre høyre hjørne) trekker du produktene av elementene i den andre diagonalen (passerer gjennom øvre høyre og nedre venstre hjørne).
- For eksempel determinanten av matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ er lik (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinanten er null, så denne matrisen kan inverteres.
5 Finn determinanten for den større matrisen. Hvis størrelsen på matrisen er 3 x 3 eller mer, er determinanten litt vanskeligere å beregne.
- 3 x 3 matrise: velg et element og kryss av raden og kolonnen det er i.Finn determinanten for den resulterende 2 × 2 matrisen, og multipliser den med det valgte elementet; spesifiser tegnet til determinanten i en spesiell tabell. Gjenta denne prosessen for de to andre elementene som er i samme rad eller kolonne som elementet du valgte. Finn deretter summen av de (tre) mottakerne som er mottatt. Les denne artikkelen for mer informasjon om hvordan du finner determinanten til en 3 x 3 matrise.
- Store matriser: Det er best å bestemme determinanten for slike matriser med en grafisk kalkulator eller programvare. Metoden ligner metoden for å finne determinanten til en 3 × 3 matrise, men det er ganske kjedelig å bruke den manuelt. For eksempel, for å finne determinanten til en 4 x 4 matrise, må du finne determinanter for fire 3 x 3 matriser.
6 Fortsett beregningene. Hvis matrisen ikke er firkantet eller hvis dens determinant er lik null, skriver du "ingen entydig løsning", det vil si at beregningsprosessen er fullført. Hvis matrisen er firkantet og har en null -determinant, hopper du til neste avsnitt.

Del 2 av 3: Finne den omvendte matrisen

1 Bytt elementene i hoveddiagonalen i 2 x 2 -matrisen. Gitt en 2 × 2 matrise, bruk metoden for hurtig invers. Bytt først elementet øverst til venstre og elementet nederst til høyre. For eksempel:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Merk: de fleste bruker kalkulatorer til å invertere en 3 x 3 (eller større) matrise. Hvis du trenger å gjøre dette manuelt, går du til slutten av denne delen.
2 Ikke bytt de to gjenværende elementene, men endre tegnet. Det vil si at du multipliserer det øverste høyre elementet og det nederste venstre elementet med -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Finn det gjensidige av determinanten. Determinanten for denne matrisen ble funnet i forrige seksjon, så vi vil ikke beregne den igjen. Det omvendte av determinanten er skrevet som følger: 1 / (determinant):
- I vårt eksempel er determinanten 13. Omvendt verdi: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multipliser den resulterende matrisen med det gjensidige av determinanten. Multipliser hvert element i den nye matrisen med det inverse av determinanten. Den endelige matrisen vil være invers av den originale 2 x 2 matrisen:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Sjekk at beregningene er riktige. For å gjøre dette, multipliser den opprinnelige matrisen med dens inverse. Hvis beregningene er riktige, vil produktet av den opprinnelige matrisen ved inversen gi identitetsmatrisen: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Hvis testen var vellykket, fortsett til neste avsnitt.
- I vårt eksempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- For mer informasjon om hvordan du multipliserer matriser, les denne artikkelen.
- Merk: driften av matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ, det vil si at rekkefølgen på matrisene er viktig. Men når den opprinnelige matrisen multipliseres med dens inverse, fører enhver rekkefølge til identitetsmatrisen.
6 Finn det inverse av en 3 x 3 matrise (eller større). Hvis du allerede er kjent med denne prosessen, er det bedre å bruke en grafisk kalkulator eller spesiell programvare. Hvis du trenger å finne den inverse matrisen manuelt, er prosessen kort beskrevet nedenfor:
- Bli med identitetsmatrisen I på høyre side av den opprinnelige matrisen. For eksempel [B] → [B | JEG]. For identitetsmatrisen er alle elementene i hoveddiagonalen lik 1, og alle andre elementer er lik 0.
- Forenkle matrisen slik at venstre side blir trinnvis; fortsett å forenkle slik at venstre side blir identitetsmatrisen.
- Etter forenkling vil matrisen ha følgende form: [I | B]. Det vil si at høyre side er inversen av den opprinnelige matrisen.

Del 3 av 3: Matrisemultiplikasjon

1 Skriv ned to mulige uttrykk. Operasjonen med å multiplisere to skalarer er kommutativ, det vil si 2 x 6 = 6 x 2.Dette er ikke tilfellet når det gjelder matrisemultiplikasjon, så du må kanskje løse to uttrykk:
- x = [A] * [B] er løsningen på ligningen x[B] = [A].
- x = [B] * [A] er løsningen på ligning [B]x = [A].
- Utfør hver matteoperasjon på begge sider av ligningen. Hvis [A] = [C] så [B] [A] ≠ [C] [B] fordi [B] er til venstre for [A], men til høyre for [C].
2 Bestem størrelsen på den endelige matrisen. Størrelsen på den endelige matrisen avhenger av størrelsen på de multipliserte matrisene. Antall rader i den endelige matrisen er lik antall rader i den første matrisen, og antall kolonner i den siste matrisen er lik antallet kolonner i den andre matrisen.
- I vårt eksempel, størrelsen på begge matrisene ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ og ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ er 2 x 2, så størrelsen på den opprinnelige matrisen vil være 2 x 2.
- Tenk på et mer komplekst eksempel: hvis størrelsen på matrisen [A] er 4 x 3, og størrelsen på matrisen [B] er 3 x 3, da vil den siste matrisen [A] * [B] være 4 x 3.
3 Finn verdien av det første elementet. Les denne artikkelen eller husk følgende grunnleggende trinn:
- For å finne det første elementet (første rad, første kolonne) i den endelige matrisen [A] [B], beregner du prikkproduktet til elementene i den første raden i matrisen [A] og elementene i den første kolonnen i matrisen [B ]. Når det gjelder en 2 x 2 matrise, beregnes prikkproduktet som følger: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- I vårt eksempel: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Dermed vil det første elementet i den endelige matrisen være elementet:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Fortsett å beregne prikkprodukter for å finne hvert element i den endelige matrisen. For eksempel er elementet i den andre raden og den første kolonnen lik prikkproduktet i den andre raden i matrisen [A] og den første kolonnen i matrisen [B]. Prøv å finne de gjenværende elementene selv. Du bør få følgende resultater:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Hvis du trenger å finne en annen løsning: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 slutt {pmatrix}}}$

Tips

Matrisen kan deles inn i en skalar; for dette er hvert element i matrisen delt med en skalar.
- For eksempel hvis matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ delt på 2, får du matrisen ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Advarsler

Kalkulatoren gir ikke alltid helt nøyaktige resultater når det gjelder matriseberegninger. For eksempel, hvis kalkulatoren hevder at varen er et veldig lite tall (for eksempel 2E), er verdien mest sannsynlig null.