Hvordan beregne skjæringspunktet mellom to linjer

Innhold

Trinn
Metode 1 av 2: Skjæringspunktet mellom to linjer
Metode 2 av 2: Problemer med kvadratiske funksjoner
Tips

I todimensjonalt rom krysser to rette linjer bare på ett punkt, spesifisert av koordinater (x, y). Siden begge linjene passerer gjennom skjæringspunktet, må koordinatene (x, y) tilfredsstille begge ligningene som beskriver disse linjene.Med litt ekstra dyktighet kan du finne skjæringspunktene mellom paraboler og andre kvadratiske kurver.

Trinn

Metode 1 av 2: Skjæringspunktet mellom to linjer

1 Skriv ned ligningen for hver linje ved å isolere y -variabelen på venstre side av ligningen. De andre begrepene i ligningen bør plasseres på høyre side av ligningen. Kanskje vil ligningen du får i stedet for "y" inneholde variabelen f (x) eller g (x); i dette tilfellet, isolere en slik variabel. For å isolere en variabel, utfør riktig matematikk på begge sider av ligningen.
- Hvis ligningene til de rette linjene ikke er gitt deg, finner du dem basert på informasjonen du kjenner.
- Eksempel... Gitt er rette linjer beskrevet av ligningene ${ displaystyle y = x + 3}$ og ${ displaystyle y -12 = -2x}$ ... For å isolere y i den andre ligningen, legg til 12 på begge sider av ligningen: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2 Sett lik uttrykkene på høyre side av hver ligning. Vår oppgave er å finne skjæringspunktet mellom begge rette linjer, det vil si punktet hvis koordinater (x, y) tilfredsstiller begge ligningene. Siden variabelen "y" er plassert på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles. Skriv ned den nye ligningen.
- Eksempel... Som ${ displaystyle y = x + 3}$ og ${ displaystyle y = 12-2x}$ , så kan du skrive følgende likhet: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$ .
3 Finn verdien av variabelen "x". Den nye ligningen inneholder bare en variabel "x". For å finne "x", isolerer du denne variabelen på venstre side av ligningen ved å utføre passende matematikk på begge sider av ligningen. Du bør få en ligning med skjemaet x = __ (hvis dette ikke er mulig, gå til slutten av denne delen).
- Eksempel. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
- Legg til ${ displaystyle 2x}$ til hver side av ligningen:
- ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
- Trekk 3 fra hver side av ligningen:
- ${ displaystyle 3x = 9}$
- Del hver side av ligningen med 3:
- ${ displaystyle x = 3}$ .
4 Bruk den funnet verdien av variabelen "x" for å beregne verdien av variabelen "y". For å gjøre dette, erstatt funnet verdi "x" i ligningen (hvilken som helst) rett linje.
- Eksempel. ${ displaystyle x = 3}$ og ${ displaystyle y = x + 3}$
- ${ displaystyle y = 3 + 3}$
- ${ displaystyle y = 6}$
5 Sjekk svaret ditt. For å gjøre dette, erstatt verdien "x" i en annen ligning på linjen og finn verdien "y". Hvis du får forskjellige y -verdier, må du kontrollere at beregningene er riktige.
- Eksempel: ${ displaystyle x = 3}$ og ${ displaystyle y = 12-2x}$
- ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
- ${ displaystyle y = 12-6}$
- ${ displaystyle y = 6}$
- Vi fikk samme verdi for "y", så det er ingen feil i beregningene våre.
6 Skriv ned koordinatene (x, y). Ved å beregne verdiene til "x" og "y" har du funnet koordinatene for skjæringspunktet mellom de to linjene. Skriv ned koordinatene til skjæringspunktet i skjemaet (x, y).
- Eksempel. ${ displaystyle x = 3}$ og ${ displaystyle y = 6}$
- Dermed krysser to linjer på et punkt med koordinater (3,6).
7 Beregninger i spesielle tilfeller. I noen tilfeller kan ikke verdien av variabelen "x" bli funnet. Men det betyr ikke at du har gjort en feil. Et spesielt tilfelle oppstår når en av følgende betingelser er oppfylt:
- Hvis to linjer er parallelle, krysser de ikke. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt bli kansellert, og ligningen vil bli til en meningsløs likhet (for eksempel ${ displaystyle 0 = 1}$ ). I dette tilfellet skriver du i svaret ditt at rette linjer krysser ikke eller ingen løsning.
- Hvis begge ligningene beskriver en rett linje, vil det være et uendelig antall skjæringspunkter. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt bli kansellert, og ligningen vil bli en streng likhet (for eksempel ${ displaystyle 3 = 3}$ ). I dette tilfellet skriver du i svaret ditt at to rette linjer faller sammen.

Metode 2 av 2: Problemer med kvadratiske funksjoner

1 Definisjon av en kvadratisk funksjon. I en kvadratisk funksjon har en eller flere variabler den andre graden (men ikke høyere), for eksempel x2{ displaystyle x ^ {2}} eller y2{ displaystyle y ^ {2}}... Kvadratiske funksjonsplott er kurver som ikke kan eller krysser hverandre på ett eller to punkter. I denne delen vil vi vise deg hvordan du finner punktet eller skjæringspunktene mellom kvadratiske kurver.
- Hvis ligningen inneholder et uttrykk i parentes, utvider du parentesene for å sikre at funksjonen er kvadratisk. For eksempel funksjonen ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ er kvadratisk, siden utvidelse av parentesene gir ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
- Funksjonen som beskriver sirkelen inkluderer begge deler ${ displaystyle x ^ {2}}$ og ${ displaystyle y ^ {2}}$ ... Hvis du har problemer med å løse problemer med denne funksjonen, kan du gå til "Tips" -delen.
2 Omskrive hver ligning ved å isolere y -variabelen på venstre side av ligningen. De andre begrepene i ligningen bør plasseres på høyre side av ligningen.
- Eksempel... Finn punkt (er) for skjæringspunktet mellom grafene ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ og ${ displaystyle y = x + 7}$
- Isoler variabelen y på venstre side av ligningen:
- ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ og ${ displaystyle y = x + 7}$ .
- I dette eksemplet får du en kvadratisk funksjon og en lineær funksjon. Husk at hvis du får to kvadratiske funksjoner, ligner beregningene på trinnene nedenfor.
3 Sett lik uttrykkene på høyre side av hver ligning. Siden variabelen "y" er plassert på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles.
- Eksempel. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ og ${ displaystyle y = x + 7}$
- ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4 Overfør alle vilkårene i den resulterende ligningen til venstre side, og skriv 0 på høyre side. For å gjøre dette, utfør grunnleggende matematiske operasjoner. Dette lar deg løse den resulterende ligningen.
- Eksempel. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
- Trekk "x" fra begge sider av ligningen:
- ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
- Trekk 7 fra begge sider av ligningen:
- ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5 Løs den kvadratiske ligningen. Når du flytter alle vilkårene i ligningen til venstre, får du en kvadratisk ligning. Det kan løses på tre måter: ved hjelp av en spesiell formel, komplementering til en hel firkant og faktorisering av ligningen.
- Eksempel. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
- Ved faktorisering av en ligning får du to binomialer som du multipliserer for å få den opprinnelige ligningen. I vårt eksempel, det første uttrykket ${ displaystyle x ^ {2}}$ kan utvides til x * x. Skriv inn følgende: (x) (x) = 0
- I vårt eksempel kan den frie termen -6 utvides til følgende faktorer: ${ displaystyle -6 * 1}$ , ${ displaystyle -3 * 2}$ , ${ displaystyle -2 * 3}$ , ${ displaystyle -1 * 6}$ .
- I vårt eksempel er det andre uttrykket x (eller 1x). Legg til hvert par avskjæringsfaktorer (i vårt eksempel -6) til du får 1. I vårt eksempel er det riktige paret avskjæringsfaktorer -2 og 3 ( ${ displaystyle -2 * 3 = -6}$ ), som ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$ .
- Fyll ut feltene med tallparet som er funnet: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ .
6 Ikke glem det andre skjæringspunktet i de to grafene. I en hast kan du glemme det andre skjæringspunktet. Slik finner du x-koordinatene til to skjæringspunkter:
- Eksempel (faktorisering)... Hvis i ligningen ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ ett av uttrykkene i parentes vil være lik 0, så vil hele ligningen være lik 0. Derfor kan du skrive det slik: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ og ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (det vil si at du fant to røtter av ligningen).
- Eksempel (ved hjelp av en formel eller komplement til en hel kvadrat)... Når du bruker en av disse metodene, vil kvadratroten vises i løsningsprosessen. For eksempel vil ligningen fra vårt eksempel ha formen ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$ ... Husk at du får to løsninger når du tar kvadratroten. I vårt tilfelle: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$ , og ${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$ ... Så skriv ned to ligninger og finn to x -verdier.
7 Grafene krysser på et tidspunkt eller krysser ikke i det hele tatt. Slike situasjoner oppstår når følgende betingelser er oppfylt:
- Hvis grafene krysser hverandre på et punkt, blir den kvadratiske ligningen dekomponert til de samme faktorene, for eksempel (x-1) (x-1) = 0, og kvadratroten til 0 vises i formelen ( ${ displaystyle { sqrt {0}}}$ ). I dette tilfellet har ligningen bare en løsning.
- Hvis grafene ikke krysser hverandre i det hele tatt, blir ligningen ikke dekomponert til faktorer, og kvadratroten til et negativt tall vises i formelen (for eksempel ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$ ). I dette tilfellet skriver du i svaret at ingen løsning.
8 Erstatt funnet verdi for variabelen "x" i kurvens ligning (hvilken som helst). Dette vil finne verdien av y -variabelen. Hvis du har to verdier for variabelen "x", følger du den beskrevne prosessen med begge verdiene "x".
- Eksempel... Du fant to verdier for variabelen "x": ${ displaystyle x = 2}$ og ${ displaystyle x = -3}$ ... Koble hver av disse verdiene til en lineær ligning ${ displaystyle y = x + 7}$ ... Du vil få : ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ og ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$ .
9 Skriv ned koordinatene til skjæringspunktet i skjemaet (x, y). Ved å beregne x- og y -verdiene har du funnet koordinatene for skjæringspunktet mellom de to grafene. Hvis du har identifisert to verdier "x" og "y", skriver du ned de to koordinatparene uten å forveksle de tilsvarende verdiene "x" og "y".
- Eksempel... Når det blir erstattet i ligningen ${ displaystyle x = 2}$ Du vil få ${ displaystyle y = 9}$ , det vil si ett par koordinater (2, 9)... Ved å gjøre den samme beregningen med den andre x-verdien, får du det andre koordinatparet (-3, 4).

Tips

Funksjonen som beskriver sirkelen inkluderer begge deler ${ displaystyle x ^ {2}}$ og ${ displaystyle y ^ {2}}$ ... For å finne skjæringspunktene til en sirkel og en rett linje, beregner du "x" ved hjelp av en lineær ligning. Koble deretter funnet x -verdi til funksjonen som beskriver sirkelen, og du får en enkel kvadratisk ligning som kanskje ikke har en løsning eller har en eller to løsninger.
En sirkel og en kurve (kvadratisk eller på annen måte) må ikke krysse eller skjære hverandre på ett, to, tre, fire punkter. I dette tilfellet må du finne verdien av x (ikke "x"), og deretter erstatte den med den andre funksjonen. Ved å beregne y får du en eller to løsninger, eller ingen løsninger i det hele tatt. Koble nå funnet verdi "y" til en av de to funksjonene og finn verdien "x". I dette tilfellet får du en eller to løsninger, eller ingen løsninger i det hele tatt.