Innhold

• Trinn

En trigonometrisk ligning inneholder en eller flere trigonometriske funksjoner av variabelen "x" (eller en hvilken som helst annen variabel). Å løse en trigonometrisk ligning er å finne en slik verdi "x" som tilfredsstiller funksjonen (e) og ligningen som helhet.

• Løsninger på trigonometriske ligninger uttrykkes i grader eller radianer. Eksempler:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grader; x = 37,12 grader; x = 178,37 grader.

• Merk: Verdiene for trigonometriske funksjoner fra vinkler, uttrykt i radianer, og fra vinkler, uttrykt i grader, er like. En trigonometrisk sirkel med en radius lik en brukes til å beskrive trigonometriske funksjoner, samt for å kontrollere riktigheten av løsningen av de grunnleggende trigonometriske ligningene og ulikhetene.
• Eksempler på trigonometriske ligninger:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2syn 2x + cos x = 1.

1. En trigonometrisk sirkel med en radius på én (enhetssirkel).
   • Det er en sirkel med en radius lik en og midt på punkt O. Enhetssirkelen beskriver 4 grunnleggende trigonometriske funksjoner for variabelen "x", hvor "x" er vinkelen målt fra den positive retningen til X -aksen mot klokken.
   • Hvis "x" er en vinkel på enhetssirkelen, så:
   • Den horisontale aksen OAx definerer funksjonen F (x) = cos x.
   • Den vertikale aksen OBy definerer funksjonen F (x) = sin x.
   • Den vertikale aksen AT definerer funksjonen F (x) = tan x.
   • Den horisontale aksen BU definerer funksjonen F (x) = ctg x.

• Enhetssirkelen brukes også til å løse grunnleggende trigonometriske ligninger og ulikheter (forskjellige posisjoner av "x" blir vurdert på den).

Trinn

1. 1 Konseptet med å løse trigonometriske ligninger.
   • For å løse en trigonometrisk ligning, konverter den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse en trigonometrisk ligning kommer til syvende og sist ned på å løse fire grunnleggende trigonometriske ligninger.
2. 2 Løse grunnleggende trigonometriske ligninger.
   • Det er fire typer grunnleggende trigonometriske ligninger:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Å løse grunnleggende trigonometriske ligninger innebærer å se på de forskjellige x -posisjonene på enhetssirkelen og bruke en konverteringstabell (eller kalkulator).
   • Eksempel 1. synde x = 0,866. Ved å bruke en konverteringstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = π / 3. Enhetssirkelen gir et annet svar: 2π / 3. Husk: alle trigonometriske funksjoner er periodiske, det vil si at verdiene deres gjentas. For eksempel er periodisiteten til sin x og cos x 2πn, og periodisiteten til tg x og ctg x er πn. Derfor er svaret skrevet slik:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Eksempel 2. kos x = -1/2. Ved å bruke en konverteringstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = 2π / 3. Enhetssirkelen gir et annet svar: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Eksempel 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Svar: x = π / 4 + πn.
   • Eksempel 4. ctg 2x = 1,732.
   • Svar: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformasjoner som brukes til å løse trigonometriske ligninger.
   • For å transformere trigonometriske ligninger brukes algebraiske transformasjoner (faktorisering, reduksjon av homogene termer, etc.) og trigonometriske identiteter.
   • Eksempel 5. Ved bruk av trigonometriske identiteter blir ligningen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 transformert til ligningen 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Dermed må du løse følgende grunnleggende trigonometriske ligninger: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Finne vinkler fra kjente verdier av funksjoner.
   • Før du lærer metoder for å løse trigonometriske ligninger, må du lære å finne vinkler fra kjente funksjoner. Dette kan gjøres ved hjelp av en konverteringstabell eller kalkulator.
   • Eksempel: cos x = 0,732. Kalkulatoren gir svaret x = 42,95 grader. Enhetssirkelen vil gi ytterligere vinkler, hvis cosinus også er 0,732.
5. 5 Sett løsningen til side på enhetssirkelen.
   • Du kan utsette løsningene til den trigonometriske ligningen på enhetssirkelen. Løsningene til den trigonometriske ligningen på enhetssirkelen er toppunktene til en vanlig polygon.
   • Eksempel: Løsningene x = π / 3 + πn / 2 på enhetssirkelen er hjørnene på et kvadrat.
   • Eksempel: Løsningene x = π / 4 + πn / 3 på enhetssirkelen representerer toppunktene til en vanlig sekskant.
6. 6 Metoder for å løse trigonometriske ligninger.
   • Hvis en gitt trig -ligning bare inneholder én trig -funksjon, løser du ligningen som den grunnleggende trig -ligningen.Hvis en gitt ligning inneholder to eller flere trigonometriske funksjoner, er det to metoder for å løse en slik ligning (avhengig av muligheten for transformasjon).
     • Metode 1.
   • Konverter denne ligningen til en ligning av formen: f (x) * g (x) * h (x) = 0, hvor f (x), g (x), h (x) er de grunnleggende trigonometriske ligningene.
     
     
   • Eksempel 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Løsning. Ved å bruke formelen med dobbel vinkel sin 2x = 2 * sin x * cos x, erstatt sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
   • Eksempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Løsning: Ved å bruke trigonometriske identiteter, transformer du denne ligningen til en ligning av formen: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2cos x + 1) = 0.
   • Eksempel 8. synd x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Løsning: Ved å bruke trigonometriske identiteter, transformer du denne ligningen til en ligning med formen: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2sin x + 1) = 0.
     • Metode 2.
   • Konverter den gitte trigonometriske ligningen til en ligning som bare inneholder en trigonometrisk funksjon. Erstatt deretter denne trigonometriske funksjonen med noen ukjente, for eksempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Eksempel 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Løsning. I denne ligningen erstatter (cos ^ 2 x) med (1 - sin ^ 2 x) (etter identitet). Den transformerte ligningen er:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Erstatt sin x med t. Ligningen ser nå slik ut: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dette er en kvadratisk ligning med to røtter: t1 = -1 og t2 = 9/5. Den andre roten t2 tilfredsstiller ikke verdiområdet for funksjonen (-1 sin x 1). Bestem nå: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Eksempel 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Løsning. Erstatt tg x med t. Omskrive den opprinnelige ligningen som følger: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Finn nå t og finn deretter x for t = tg x.
7. 7 Spesielle trigonometriske ligninger.
   • Det er flere spesielle trigonometriske ligninger som krever spesifikke transformasjoner. Eksempler:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodisitet av trigonometriske funksjoner.
   • Som nevnt tidligere er alle trigonometriske funksjoner periodiske, det vil si at verdiene deres gjentas etter en viss periode. Eksempler:
     • Perioden for funksjonen f (x) = sin x er 2π.
     • Perioden for funksjonen f (x) = tan x er lik π.
     • Perioden for funksjonen f (x) = sin 2x er π.
     • Perioden for funksjonen f (x) = cos (x / 2) er 4π.
   • Hvis perioden er spesifisert i problemet, beregner du verdien "x" innenfor denne perioden.
   • Merk: Å løse trigonometriske ligninger er ikke en lett oppgave og fører ofte til feil. Så sjekk svarene dine nøye. For å gjøre dette, kan du bruke en grafisk kalkulator for å plotte den gitte ligningen R (x) = 0. I slike tilfeller vil løsninger bli presentert som desimalfraksjoner (det vil si at π erstattes av 3.14).