Innhold

• Trinn
• Metode 1 av 2: Algebraisk metode
• Metode 2 av 2: Grafisk metode
• Tips
• En advarsel

Funksjoner kan være like, rare eller generelle (det vil si verken jevne eller merkelige). Funksjonstypen avhenger av tilstedeværelse eller fravær av symmetri. Den beste måten å bestemme typen funksjon er å utføre en rekke algebraiske beregninger. Men typen av funksjonen kan også bli funnet ut av tidsplanen. Ved å lære å definere typen funksjoner, kan du forutsi oppførselen til visse kombinasjoner av funksjoner.

Trinn

Metode 1 av 2: Algebraisk metode

1. 1 Husk hva de motsatte verdiene til variablene er. I algebra skrives den motsatte verdien av en variabel med et "-" (minus) -tegn. Dessuten er dette sant for enhver betegnelse på den uavhengige variabelen (med bokstaven ${ displaystyle x}$ eller et annet brev). Hvis det i den opprinnelige funksjonen allerede er et negativt tegn foran variabelen, vil den motsatte verdien være en positiv variabel. Nedenfor er eksempler på noen av variablene og deres motsatte betydninger:
   • Den motsatte betydningen for ${ displaystyle x}$ er en ${ displaystyle -x}$.
   • Den motsatte betydningen for ${ displaystyle q}$ er en ${ displaystyle -q}$.
   • Den motsatte betydningen for ${ displaystyle -w}$ er en ${ displaystyle w}$.
2. 2 Erstatt forklaringsvariabelen med den motsatte verdien. Det vil si omvendt tegnet på den uavhengige variabelen. For eksempel:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ blir til ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ blir til ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ blir til ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Forenkle den nye funksjonen. På dette tidspunktet trenger du ikke å erstatte spesifikke numeriske verdier med den uavhengige variabelen. Du trenger bare å forenkle den nye funksjonen f (-x) for å sammenligne den med den opprinnelige funksjonen f (x). Husk den grunnleggende regelen for eksponentiering: å heve en negativ variabel til en jevn effekt vil resultere i en positiv variabel, og å øke en negativ variabel til en merkelig effekt vil resultere i en negativ variabel.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Sammenlign de to funksjonene. Sammenlign den forenklede nye funksjonen f (-x) med den opprinnelige funksjonen f (x). Skriv ned de tilsvarende begrepene for begge funksjonene under hverandre og sammenlign tegnene deres.
   • Hvis tegnene på de tilsvarende begrepene for begge funksjonene sammenfaller, det vil si f (x) = f (-x), er den opprinnelige funksjonen jevn. Eksempel:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ og ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Her er tegnene på begrepene sammenfallende, så den opprinnelige funksjonen er jevn.
   • Hvis tegnene på de tilsvarende begrepene for begge funksjonene er motsatte av hverandre, det vil si f (x) = -f (-x), er den opprinnelige funksjonen jevn. Eksempel:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, men ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Vær oppmerksom på at hvis du multipliserer hvert ledd i den første funksjonen med -1, får du den andre funksjonen. Dermed er den opprinnelige funksjonen g (x) merkelig.
   • Hvis den nye funksjonen ikke samsvarer med noen av eksemplene ovenfor, er det en generell funksjon (det vil si verken jevn eller merkelig). For eksempel:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, men ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Tegnene på de første begrepene for begge funksjonene er de samme, og tegnene på de andre begrepene er motsatte. Derfor er denne funksjonen verken jevn eller merkelig.

Metode 2 av 2: Grafisk metode

1. 1 Plott en funksjonsgraf. For å gjøre dette, bruk grafpapir eller en grafisk kalkulator. Velg et multiplum av de numeriske forklaringsvariabelverdiene ${ displaystyle x}$ og koble dem til funksjonen for å beregne verdiene til den avhengige variabelen ${ displaystyle y}$... Tegn de funnet koordinatene til punktene på koordinatplanet, og koble deretter disse punktene for å bygge en graf over funksjonen.
   • Sett inn positive numeriske verdier i funksjonen ${ displaystyle x}$ og tilsvarende negative numeriske verdier. For eksempel gitt funksjonen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Plugg inn følgende verdier ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Har et poeng med koordinater ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Har et poeng med koordinater ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Har et poeng med koordinater ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Har et poeng med koordinater ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om y-aksen. Symmetri refererer til speilingen av diagrammet rundt ordinataksen. Hvis delen av grafen til høyre for y-aksen (positiv forklaringsvariabel) sammenfaller med delen av grafen til venstre for y-aksen (negative verdier av forklaringsvariabelen), er grafen symmetrisk ca. y-aksen. Hvis funksjonen er symmetrisk om ordinaten, er funksjonen jevn.
   • Du kan kontrollere symmetrien til grafen med individuelle punkter. Hvis verdien ${ displaystyle y}$som tilsvarer verdien ${ displaystyle x}$, samsvarer med verdien ${ displaystyle y}$som tilsvarer verdien ${ displaystyle -x}$, funksjonen er jevn.I vårt eksempel med funksjonen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ vi har følgende koordinater for punkter:
     • (1.3) og (-1.3)
     • (2.9) og (-2.9)
   • Vær oppmerksom på at når x = 1 og x = -1, er den avhengige variabelen y = 3, og når x = 2 og x = -2, er den avhengige variabelen y = 9. Så funksjonen er jevn. Faktisk, for å finne ut den eksakte formen for en funksjon, må du vurdere mer enn to punkter, men den beskrevne metoden er en god tilnærming.
3. 3 Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen. Opprinnelsen er punktet med koordinater (0,0). Symmetri om opprinnelsen betyr at en positiv verdi ${ displaystyle y}$ (med en positiv verdi ${ displaystyle x}$) tilsvarer en negativ verdi ${ displaystyle y}$ (med en negativ verdi ${ displaystyle x}$), og vice versa. Merkelige funksjoner er symmetriske om opprinnelsen.
   • Hvis vi erstatter flere positive og tilsvarende negative verdier i funksjonen ${ displaystyle x}$, verdier ${ displaystyle y}$ vil variere i tegn. For eksempel gitt funksjonen ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Erstatt flere verdier i den ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Fikk et poeng med koordinater (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Vi fikk et punkt med koordinater (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Fikk et poeng med koordinater (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Vi fikk et punkt med koordinater (-2, -10).
   • Dermed er f (x) = -f (-x), det vil si at funksjonen er merkelig.
4. 4 Sjekk om grafen til funksjonen har noen symmetri. Den siste funksjonstypen er en funksjon hvis graf ikke har symmetri, det vil si at det ikke er speiling både om ordinataksen og om opprinnelsen. For eksempel gitt funksjonen ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Erstatt flere positive og tilsvarende negative verdier i funksjonen ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Fikk et poeng med koordinater (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Vi fikk et punkt med koordinater (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Fikk et poeng med koordinater (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Vi fikk et punkt med koordinater (2, -2).
   • I henhold til de oppnådde resultatene er det ingen symmetri. Verdiene ${ displaystyle y}$ for motsatte verdier ${ displaystyle x}$ ikke sammenfaller og er ikke motsatt. Dermed er funksjonen verken jevn eller merkelig.
   • Vær oppmerksom på at funksjonen ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ kan skrives slik: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Når den er skrevet i denne formen, ser det ut til at funksjonen er jevn fordi en jevn eksponent er tilstede. Men dette eksemplet viser at funksjonstypen ikke kan fastslås raskt hvis den uavhengige variabelen er omsluttet i parentes. I dette tilfellet må du åpne parentesene og analysere de mottatte eksponentene.

Tips

• Hvis eksponenten til den uavhengige variabelen er jevn, er funksjonen jevn; hvis eksponenten er merkelig, er funksjonen merkelig.

En advarsel

• Denne artikkelen kan bare brukes på funksjoner med to variabler, hvis verdier kan plottes på koordinatplanet.