Innhold

• Fremgangsmåte
• Råd

En kvadratisk ligning er et polynom med en variabel der 2 er den høyeste eksponenten av den variabelen. Det er tre hovedmåter å løse kvadratiske ligninger på: 1) faktorere ligningen i faktorer hvis mulig, 2) bruke kvadratformelen, eller 3) fullføre firkanten. Følg disse trinnene for å lære å bli dyktige med disse tre metodene.

Fremgangsmåte

Metode 1 av 3: Analyse av ligninger til faktorer

1. 

   Legg sammen de samme begrepene og flytt dem til den ene siden av ligningen. Det første trinnet i faktoranalyse er å sette alle vilkårene til siden slik at de er positive. For å kombinere termer, legge til eller trekke fra alle ord, alle som inneholder termer og konstanter (vilkårene er heltall), konverterer du dem til den ene siden og ikke etterlater noe på den andre siden. Deretter kan du skrive "0" på den andre siden av likhetstegnet. Slik gjør du det:

2. 

   
   
   Analyser uttrykket i faktoren. For å faktorisere et uttrykk, må du bruke faktorene til begrepet som inneholder (3) og faktorene for konstanten (-4), for å multiplisere dem og deretter legge det til det midtre begrepet (-11) . Slik gjør du det:
   • Siden det bare er ett mulig faktorsett, og du kan omskrive det i parentes slik :.
   • Deretter bruker du reduksjon for å kombinere faktorene 4 for å finne kombinasjonen som gjør -11x når den multipliseres. Du kan bruke 4 og 1 eller 2 og 2 fordi de begge har et produkt på 4. Bare husk at en faktor må være negativ fordi begrepet vårt er -4.
   • Med testmetoden vil vi sjekke kombinasjonen av faktorer. Når vi implementerer multiplikasjon, oppnår vi. Legg til vilkårene, og vi har, er den nøyaktige mellomperioden vi sikter mot. Så vi har nettopp faktorisert den kvadratiske funksjonen.
   • Som et eksempel på denne testen, la oss undersøke en feil (feil) kombinasjon av: =. Ved å kombinere disse vilkårene vil vi oppnå. Selv om det er sant at -2 og 2 har produkter som er lik -4, er ikke begrepet i mellom riktig, fordi vi trenger det, ikke.

3. 

   
   
   La hvert uttrykk i parentes være null som individuelle ligninger. Derfra finner du to verdier som gjør den totale ligningen lik null = 0. Når du først har faktorert ligningen, trenger du bare å legge inn uttrykket i parentes med null. Hvorfor? Det er fordi vi for null produkt har et "prinsipp, lov eller eiendom" om at en faktor må være null. Derfor må minst en verdi i parentes være null; det vil si (3x + 1) eller (x - 4) må være null. Det har vi heller.

4. 

   
   
   Løs hver av disse "null" ligningene uavhengig. Den kvadratiske ligningen har to mulige løsninger. Finn hver mulig løsning for variabelen x ved å skille variabelen og skrive ned de to løsningene som det endelige resultatet. Dette er hvordan:
   • Løs 3x + 1 = 0
     • Trekk fra to sider: 3x = -1 .....
     • Del sidene: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Skjul: x = -1/3 .....
   • Løs x - 4 = 0
     • Trekk fra to sider: x = 4 .....
   • Skriv dine egne mulige løsninger: x = (-1/3, 4) ....., det vil si x = -1/3 eller x = 4 er begge riktige.

5. 

   Sjekk x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   I stedet for et uttrykk, har vi det (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Kollaps: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Utfør multiplikasjon, vi får (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Høyre, x = -1/3 er en løsning av ligning.

6. 

   Sjekk x = 4 tommer (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   I stedet for et uttrykk, har vi det (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Kollaps, vi får: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Utfør multiplikasjon: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Høyre, x = 4 er en løsning av ligningen.
   • Så begge disse mulige løsningene har blitt "testet" hver for seg, og det kan bekreftes at begge løser problemet og er to separate sanne løsninger.
   annonse

Metode 2 av 3: Bruk den kvadratiske formelen

1. 

   Legg til de samme vilkårene og flytt dem til den ene siden av ligningen. Flytter alle termer til den ene siden av likhetstegnet slik at begrepet inneholder det positive tegnet. Skriv om ordene i fallende rekkefølge, noe som betyr at begrepet kommer først, etterfulgt av og til slutt konstanten. Dette er hvordan:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Skriv ned den kvadratiske formelen. Det er:

3. 

   Bestem verdiene til a, b og c i den kvadratiske ligningen. Ute en er koeffisienten til x, b er koeffisienten til x og c er en konstant. Med ligningen 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, og c = -8. Vennligst skriv ned på papir.

4. 

   Plugg verdiene til a, b og c inn i ligningen. Nå som du kjenner verdiene til de tre variablene ovenfor, kan du sette dem i ligningen slik:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Utfør beregninger. Når du har erstattet tallene, utfører du resten av beregningen for å redusere de positive eller negative tegnene, multiplisere eller kvadratere de gjenværende ordene. Dette er hvordan:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Skjul kvadratroten. Hvis det radikale tegnet er et perfekt kvadrat, får du et heltall. Hvis det ikke er et perfekt kvadrat, så reduser det til sin enkleste radikale form. Hvis det er negativt, og du er sikker på at det skal være negativt, løsningen vil være ganske komplisert. I dette eksemplet, √ (121) = 11. Vi kan skrive: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Løs for de positive og negative løsningene. Hvis du har fjernet kvadratroten, kan du fortsette til du har funnet de positive og negative løsningene til x. Nå som du har (5 +/- 11) / 6, kan du skrive to alternativer:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Finn de positive og negative løsningene. Vi må bare gjøre beregningen:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Kollapse. For å forkorte svarene dine, trenger du bare å dele både telleren og modellen med deres største fellesdeler. Del telleren og nevneren til den første fraksjonen med 2 og nevneren og nevneren til den andre brøkdelen med 6, og du har funnet x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   annonse

Metode 3 av 3: Fullfør firkanten

1. 

   Flytt alle termer til den ene siden av ligningen. Sørge for at en eller x har et positivt tegn. Dette er hvordan:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • I denne ligningen, en lik 2, b er lik -12 og c lik -9.

2. 

   Kommet videre c eller konstant til den andre siden. Konstanter er numeriske termer som ikke inneholder noen variabler. La oss flytte den til høyre side av ligningen:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Del begge sider etter koeffisientene en eller koeffisienten til x. Hvis x ikke har noe begrep foran seg, er koeffisienten 1, og du kan hoppe over dette trinnet. I vårt tilfelle må du dele alle ord i ligningen med 2, slik:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Dele b av to, kvadrat det og legg resultatet til begge sider. I dette eksemplet, b er lik -6. Vi gjør følgende:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Kollaps to sider. For å faktorere venstre side har vi (x-3) (x-3) eller (x-3). Legg til høyre side for å få 9/2 + 9, eller 9/2 + 18/2, og få 2/27.

6. 

   Finn kvadratroten på begge sider. Kvadratroten til (x-3) er (x-3). Du kan uttrykke kvadratroten på 27/2 som ± √ (27/2). Så, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Skjul det radikale tegnet og finn x. For å redusere ± √ (27/2) finner vi et kvadrat innenfor 27, 2 eller en faktor av det. Den perfekte firkanten 9 er i 27, fordi 9x3 = 27. For å fjerne 9 fra det radikale tegnet, trekker vi det ut og skriver 3, kvadratroten, i tillegg til det radikale tegnet. Den gjenværende faktoren på 3 i telleren kan ikke angis, så den forblir under det radikale tegnet. Samtidig legger vi også igjen 2 i prøven av brøkdelen. Deretter flytter du konstant 3 på venstre side av ligningen til høyre, og skriver ned de to løsningene:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   annonse

Råd

• Som man kan se, forsvinner ikke det radikale tegnet helt. Derfor kan vilkår i telleren ikke være kumulative (fordi de ikke er vilkår for den samme egenskapen). Derfor er pluss-eller-minus-divisjonen meningsløs. I stedet kan vi dele alle vanlige faktorer men BARE når konstant OG Koeffisienter for enhver radikal inneholder også den faktoren.
• Hvis det radikale tegnet ikke er et perfekt kvadrat, kan de siste trinnene tas litt annerledes. Som for eksempel:
• Hvis "b" er et partall, vil formelen være: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.