Innhold

• Å trå
• Metode 1 av 3: En første enkel oppgave
• Metode 2 av 3: Beregning av forventet verdi for et spesifikt resultat
• Metode 3 av 3: Forstå konseptet
• Tips
• Nødvendigheter

Forventningsverdi er et statistikkuttrykk, og et konsept som brukes til å bestemme hvor nyttig eller skadelig en handling vil være. For å beregne den forventede verdien er det nødvendig å få en god forståelse av hvert utfall i en bestemt situasjon og tilhørende sannsynlighet, eller sannsynligheten for at et bestemt utfall vil oppstå. Trinnene nedenfor gir noen eksempler på øvelser som hjelper deg å forstå begrepet forventningsverdi.

Å trå

Metode 1 av 3: En første enkel oppgave

1. Les uttalelsen. Før du begynner å tenke på alle mulige resultater og sannsynligheter, er det viktig at du forstår problemet. For eksempel et terningspill som koster € 10 per spill. En sekskantform rulles en gang, og gevinstene dine avhenger av antallet du ruller. Hvis en 6 blir kastet, vinner du € 30; en 5 tjener 20 €; noe annet tall gir ikke noe.
2. Liste opp alle mulige resultater. Det hjelper med å liste opp alle mulige resultater i en gitt situasjon. I eksemplet ovenfor er det 6 mulige utfall. Disse er: (1) kast en 1 og du taper $ 10, (2) kast en 2 og du taper $ 10, (3) kast en 3 og du taper $ 10, (4) kast en 4 og du taper $ 10 , (5) kast en 5 og vinn $ 10, (6) kast en 6 og vinn $ 20.
   • Merk at hvert utfall er € 10 mindre enn beskrevet ovenfor, da du må betale € 10 per spill først, uavhengig av utfallet.
3. Bestem sannsynligheten for hvert utfall. I dette tilfellet er sannsynligheten for 6 utfall den samme. Sannsynligheten for at et tilfeldig tall blir rullet, er 1 i 6. For å gjøre dette lettere å skrive ned, vil vi skrive brøken (1/6) som en desimal ved hjelp av en kalkulator: 0,167. Skriv denne sannsynligheten ved siden av hvert utfall, spesielt hvis du vil løse et problem med forskjellige sannsynligheter for hvert utfall.
   • 1/6 kalkulatoren din kan lage noe sånt som 0.166667. Vi avrunder dette til 0,167 for å gjøre det lettere å beregne uten å ofre nøyaktigheten.
   • Hvis du vil ha et veldig nøyaktig resultat, ikke gjør det til et desimal, bare skriv 1/6 i formelen og beregne det på kalkulatoren.
4. Registrer verdien av hvert utfall. Multipliser $ av et resultat med sannsynligheten for at resultatet vil oppstå for å beregne hvor mye penger resultatet vil bidra til den forventede verdien. For eksempel er resultatet av å rulle en 1 - $ 10 og sannsynligheten for å rulle en 1 er 0,167. Verdien av å kaste en 1 er derfor (-10) * (0,167).
   • Det er ikke nødvendig å beregne disse resultatene nå hvis du har en kalkulator som kan utføre flere operasjoner samtidig. Du får et mer nøyaktig resultat hvis du skriver inn hele ligningen.
5. Legg til verdien av hvert utfall for å få den forventede verdien av en hendelse. For å fortsette med eksemplet ovenfor er forventningsverdien til terningspillet: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), eller - € 1,67. Så du kan forvente å tape $ 1,67 hver gang på dette spillet (per kamp).
6. Hva er implikasjonene av å beregne forventet verdi. I eksemplet ovenfor bestemte vi oss for at forventet fortjeneste (tap) ville være - € 1,67 per kast. Dette er et umulig resultat for 1 spill; du kan tape € 10, vinne € 10, eller vinne € 20. Men på sikt er den forventede verdien en nyttig, gjennomsnittlig sannsynlighet. Hvis du fortsetter å spille dette spillet, vil du i gjennomsnitt tape ca. $ 1,67 per kamp. En annen måte å tenke på den forventede verdien er ved å tildele spillet visse kostnader (eller fordeler); du bør bare spille dette spillet hvis du synes det er verdt det, nyt det nok til å bruke 1,67 dollar på det hver gang.
   • Jo oftere en situasjon gjentas, jo mer nøyaktig er den forventede verdien en representasjon av det faktiske gjennomsnittlige utfallet. For eksempel, kanskje du spiller spillet 5 ganger på rad og taper hver gang, noe som resulterer i et gjennomsnittlig tap på $ 10. Hvis du imidlertid spiller spillet 1000 ganger til, vil gjennomsnittsresultatet komme nærmere og nærmere den forventede verdien på - € 1,67 per spill. Dette prinsippet kalles "loven om store tall."

Metode 2 av 3: Beregning av forventet verdi for et spesifikt resultat

1. Bruk denne metoden til å beregne gjennomsnittlig antall mynter du trenger for å vende før et bestemt mønster oppstår. For eksempel kan du bruke metoden for å finne ut det forventede antallet mynter som skal snu til du har hoder to ganger på rad. Dette problemet er litt vanskeligere enn et standard problem med forventningsverdier, så les først delen av denne artikkelen hvis du ikke er kjent med begrepet forventningsverdi.
2. Anta at vi leter etter en verdi x. Du prøver å bestemme hvor mange mynter du må snu i gjennomsnitt for å få to hoder på rad. Vi gjør nå en sammenligning for å finne svaret. Vi kaller svaret vi leter etter x. Vi gjør den nødvendige sammenligningen trinn for trinn. Vi har for tiden følgende:
   • x = ___
3. Tenk på hva som skjer hvis den første klaffen produserer en mynt. Dette vil være tilfelle i halvparten av tilfellene. Hvis dette er tilfelle, har du "kastet bort" en velte, mens sjansen for å trille et hode to ganger på rad ikke har endret seg. Som med myntkastet, forventes det at du må kaste et gjennomsnittlig antall ganger før du får hodet to ganger på rad. Med andre ord, du forventer å rulle x antall ganger, pluss de du allerede har spilt. I form av en ligning:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Vi skal fylle ut det tomme rommet når vi fortsetter å tenke på andre situasjoner.
   • Du kan bruke brøker i stedet for desimaler hvis det er enklere eller nødvendig.
4. Tenk på hva som skjer når du kaster hodet. Det er en 0,5 (eller 1/2) sjanse for at du kaster en kopp første gang. Dette ser ut til å komme nærmere målet om å kaste et hode to ganger på rad, men hvor mye? Den enkleste måten å finne ut av er å tenke på alternativene dine på andre runde:
   • Hvis det andre kastet er en mynt, er vi tilbake til begynnelsen.
   • Hvis andre gangen også er en kopp, så er vi ferdige!
5. Lær hvordan du beregner sannsynligheten for at to hendelser vil inntreffe. Vi vet nå at du har 50% sjanse for at du vil kaste en kopp, men hva er sjansen for at du vil kaste en kopp to ganger på rad? For å beregne denne sannsynligheten må du multiplisere sannsynligheten for begge. I dette tilfellet er det 0,5 x 0,5 = 0,25. Dette er selvfølgelig også sjansen for at du vil rulle hoder og haler, fordi de begge har en sjanse på 0,5 til å oppstå: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Legg til resultatet for "hoder, så haler" til ligningen. Nå som vi har beregnet sannsynligheten for at denne hendelsen vil inntreffe, kan vi gå videre til å utvide ligningen. Det er en 0,25 (eller 1/4) sjanse for at vi vil kaste bort to ganger uten å bevege oss fremover. Men nå trenger vi fortsatt et x antall flere kast i gjennomsnitt for å få det resultatet vi ønsker å få, pluss de 2 vi allerede har kastet. I ligningsform blir dette (0,25) (x + 2), som vi nå kan legge til ligningen:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Legg til resultatet for "heading, heading" i ligningen. Hvis du ruller med hodet, hodet med de to første kastene av myntene, er du ferdig. Du fikk resultatet i nøyaktig 2 kast. Som vi nevnte tidligere, er det en 0,25 sjanse for at dette skjer, så ligningen for dette er (0,25) (2). Vår sammenligning er nå fullført:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Hvis du ikke er sikker på at du har tenkt gjennom alle mulige situasjoner, er det en enkel måte å kontrollere at ligningen er fullført. Det første tallet i hver del av ligningen representerer sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe. Dette vil alltid gi opptil 1. Her er 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, så vi vet at vi har tatt med alle situasjoner.
8. Forenkle ligningen. La oss gjøre ligningen litt enklere ved å multiplisere. Husk at hvis du ser noe i parentes som dette: (0.5) (x + 1), så multipliserer du 0,5 med hvert begrep som er i det andre settet med parenteser. Dette gir deg følgende: 0,5x + (0,5) (1) eller 0,5x + 0,5. La oss gjøre dette for hvert begrep i ligningen, og deretter kombinere disse begrepene slik at det hele ser litt enklere ut:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Løs i x. Som i enhver ligning, må du isolere x på den ene siden av ligningen for å beregne den. Husk at x betyr "gjennomsnittlig antall mynter du trenger å kaste for å få hoder to ganger på rad." Når vi har beregnet x, har vi også funnet svaret vårt.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • I gjennomsnitt må du kaste en mynt 6 ganger før du kaster hoder to ganger.

Metode 3 av 3: Forstå konseptet

1. Hva er en forventet verdi faktisk. Forventningsverdien er ikke nødvendigvis det mest åpenbare eller logiske resultatet. Noen ganger kan en forventningsverdi til og med være en umulig verdi i en gitt situasjon. For eksempel kan forventningsverdien være + € 5 for et spill med en premie på ikke mer enn € 10. Det forventningsverdien indikerer er hvor mye verdi en bestemt hendelse har. Hvis et spill har en forventet verdi på + € 5, kan du spille det hvis du føler det er verdt tiden og pengene du kan få per spill. Hvis et annet spill har en forventet verdi på - $ 20, så spiller du det bare hvis du tror hvert spill er verdt $ 20.
2. Forstå konseptet med uavhengige hendelser. I hverdagen tror mange av oss at vi har en heldig dag når noen gode ting skjer, og vi forventer at resten av dagen skal gå den veien.På samme måte kan vi tenke at vi har fått nok av en ulykke, og at noe morsomt virkelig må gjøres nå. Matematisk går ikke ting slik. Hvis du kaster en vanlig mynt, er det nøyaktig samme sjanse for at du kaster et hode eller en mynt. Det spiller ingen rolle hvor mange ganger du allerede har kastet; neste gang du kaster fungerer det fortsatt på samme måte. Myntkastet er "uavhengig" av de andre kastene, det påvirkes ikke av det.
   • Troen på at du kan være heldig eller uheldig når du kaster mynter (eller andre sjansespill), eller Det faktum at all uflaks din nå er avsluttet og flaks er på din side kalles også gambler-juks (eller gamblerens feilslutning). Dette har å gjøre med folks tendens til å ta risikable eller dumme avgjørelser når de føler at flaks er på deres side, eller hvis de føler seg "heldig strek" eller hvis de føler at "flaks er i ferd med å snu." "
3. Forstå loven i stort antall. Du tror kanskje at forventningsverdien ikke er veldig nyttig, fordi den bare sjelden forteller deg hva det faktiske resultatet av en situasjon er. Hvis du har beregnet at den forventede verdien av et roulette-spill er - € 1, og du spiller spillet 3 ganger, vil du vanligvis ende opp med - € 10, eller + € 60, eller noe annet resultat. "Loven om store tall" hjelper deg med å forklare hvorfor forventningsverdien er mer nyttig enn du kanskje tror: jo mer du spiller, jo nærmere forventningsverdien vil gjennomsnittsresultatet være. Når du ser på det store antallet hendelser, er det en god sjanse for at det endelige resultatet er nær den forventede verdien.

Tips

• For de situasjonene der flere utfall er mulige, kan du opprette et regneark på datamaskinen for å beregne forventet verdi ved hjelp av resultatene og sannsynlighetene deres.
• € -beregningene ovenfor fungerer også i andre valutaer.

Nødvendigheter

• Blyant
• Papir
• Kalkulator