Innhold

• Å trå

En trigonometrisk ligning er en ligning med en eller flere trigonometriske funksjoner av den variable trigonometriske kurven x. Å løse x betyr å finne verdiene til de trigonometriske kurvene hvis trigonometriske funksjoner får den trigonometriske ligningen til å være sant.

• Svar eller verdier på løsningskurvene uttrykkes i grader eller radianer. Eksempler:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 grader; x = 37,12 grader; x = 178,37 grader

• Merk: På enhetssirkelen er de trigonometriske funksjonene til en hvilken som helst kurve lik de trigonometriske funksjonene til den tilsvarende vinkelen. Enhetssirkelen definerer alle trigonometriske funksjonene til den variable kurven x. Det brukes også som bevis i å løse grunnleggende trigonometriske ligninger og ulikheter.
• Eksempler på trigonometriske ligninger:
  • sin x + sin 2x = 1/2; brunfarge x + barneseng x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Enhetssirkelen.
   • Dette er en sirkel med Radius = 1, hvor O er opprinnelsen. Enhetssirkelen definerer 4 hovedtrigonometriske funksjoner til den variable kurven x, som sirkler den mot klokken.
   • Når kurven med verdien x varierer på enhetssirkelen, holder den:
   • Den horisontale aksen OAx definerer den trigonometriske funksjonen f (x) = cos x.
   • Den vertikale aksen OBy definerer den trigonometriske funksjonen f (x) = sin x.
   • Den vertikale aksen AT definerer den trigonometriske funksjonen f (x) = tan x.
   • Den horisontale aksen BU definerer den trigonometriske funksjonen f (x) = barneseng x.

• Enhetssirkelen brukes også til å løse grunnleggende trigonometriske ligninger og standard trigonometriske ulikheter ved å vurdere de forskjellige posisjonene til kurven x på sirkelen.

Å trå

1. Forstå løsningsmetoden.
   • For å løse en trigonometrisk ligning konverterer du den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse trigonometriske ligninger resulterer til slutt i å løse 4 grunnleggende trigonometriske ligninger.
2. Vite hvordan du kan løse grunnleggende trigonometriske ligninger.
   • Det er fire grunnleggende trigonometriske ligninger:
   • sin x = a; cos x = a
   • brunfarge x = a; barneseng x = a
   • Du kan løse de grunnleggende trigonometriske ligningene ved å studere de forskjellige posisjonene til kurven x på den trigonometriske sirkelen og bruke en trigonometrisk konverteringstabell (eller kalkulator). For å fullt ut forstå hvordan du kan løse disse og lignende grunnleggende trigonometriske ligninger, les følgende bok: "Trigonometry: Solving Trigonometric Equations and inequalities" (Amazon E-book 2010).
   • Eksempel 1. Løs for sin x = 0,866. Konverteringstabellen (eller kalkulatoren) gir svaret: x = Pi / 3. Den trigonometriske sirkelen gir en annen kurve (2Pi / 3) med samme verdi for sinus (0,866). Den trigonometriske sirkelen gir også en uendelig mengde svar som kalles utvidede svar.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, og x2 = 2Pi / 3. (Svar innen en periode (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, og x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detaljerte svar).
   • Eksempel 2. Løs: cos x = -1/2. Kalkulatorer gir x = 2 Pi / 3. Den trigonometriske sirkelen gir også x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, og x2 = - 2Pi / 3. (Svar for periode (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, og x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Utvidede svar)
   • Eksempel 3. Løs: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Svar)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Utvidet svar)
   • Eksempel 4. Løs: barneseng 2x = 1.732. Kalkulatorer og den trigonometriske sirkelen gir:
   • x = Pi / 12; (Svar)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Utvidede svar)
3. Lær transformasjonene som brukes til å løse trigonometriske ligninger.
   • For å konvertere en gitt trigonometrisk ligning til standard trigonometriske ligninger, bruk standard algebraiske konverteringer (faktorisering, felles faktor, polynomer ...), definisjoner og egenskaper for trigonometriske funksjoner og trigonometriske identiteter. Det er omtrent 31, 14 av disse er trigonometriske identiteter, fra 19 til 31, også kalt transformasjonsidentiteter, fordi de brukes i konvertering av trigonometriske ligninger. Se boken ovenfor.
   • Eksempel 5: Den trigonometriske ligningen: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan konverteres til et produkt av grunnleggende trigonometriske ligninger ved hjelp av trigonometriske identiteter: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. De grunnleggende trigonometriske ligningene som skal løses er: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; og cos (x / 2) = 0.
4. Finn kurvene som trigonometriske funksjoner er kjent for.
   • Før du kan lære å løse trigonometriske ligninger, må du vite hvordan du raskt finner kurvene som trigonometriske funksjoner er kjent for. Konverteringsverdier for kurver (eller vinkler) kan bestemmes med trigonometriske tabeller eller kalkulatoren.
   • Eksempel: Løs for cos x = 0,732. Kalkulatoren gir løsningen x = 42,95 grader. Enhetssirkelen gir andre kurver med samme verdi for cosinus.
5. Tegn svarbuen på enhetssirkelen.
   • Du kan lage en graf for å illustrere løsningen på enhetssirkelen. Endepunktene til disse kurvene er vanlige polygoner på den trigonometriske sirkelen. Noen eksempler:
   • Endepunktene til kurven x = Pi / 3 + k. Pi / 2 er en firkant på på enhetssirkelen.
   • Kurvene til x = Pi / 4 + k.Pi / 3 er representert av koordinatene til en sekskant på enhetssirkelen.
6. Lær hvordan du løser trigonometriske ligninger.
   • Hvis den gitte trigonometriske ligningen bare inneholder en trigonometrisk funksjon, kan du løse den som en standard trigonometrisk ligning. Hvis den gitte ligningen inneholder to eller flere trigonometriske funksjoner, er det to løsningsmetoder, avhengig av alternativene for å konvertere ligningen.
     • A. Metode 1.
   • Konverter den trigonometriske ligningen til et produkt av formen: f (x) .g (x) = 0 eller f (x) .g (x) .h (x) = 0, hvor f (x), g (x) og h (x) er grunnleggende trigonometriske ligninger.
   • Eksempel 6. Løs: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Løsning. Erstatt sin 2x i ligningen ved hjelp av identiteten: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Løs deretter 2 standard trigonometriske funksjoner: cos x = 0, og (sin x + 1) = 0.
   • Eksempel 7. Løs: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Løsning: Konverter dette til et produkt ved hjelp av trigonometriske identiteter: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Løs nå de 2 grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0, og (2cos x + 1) = 0.
   • Eksempel 8. Løs: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Løsning: Konverter dette til et produkt ved hjelp av de trigonometriske identitetene: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Løs nå de 2 grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0, og (2sin x + 1) = 0.
     • B. Tilnærming 2.
   • Konverterer trig-ligningen til en trig-ligning med bare en unik trig-funksjon som en variabel. Det er noen tips om hvordan du velger en passende variabel. Vanlige variabler er: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t og tan (x / 2) = t.
   • Eksempel 9. Løs: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Løsning. I ligningen erstatter du (cos ^ 2x) med (1 - sin ^ 2x), og forenkler ligningen:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Bruk nå sin x = t. Ligningen blir: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dette er en kvadratisk ligning med 2 røtter: t1 = -1 og t2 = 9/5. Vi kan avvise den andre t2, fordi> 1. Løs nå for: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Eksempel 10. Løs: tan x + 2 tan ^ 2 x = barneseng x + 2.
   • Løsning. Bruk tan x = t. Konverter den gitte ligningen til en ligning med t som en variabel: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Løs for t fra dette produktet, og løs deretter den standard trigonometriske ligningen tan x = t for x.
7. Løs spesielle trigonometriske ligninger.
   • Det er noen få spesielle trigonometriske ligninger som krever noen spesifikke konverteringer. Eksempler:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Lær de periodiske egenskapene til trigonometriske funksjoner.
   • Alle trigonometriske funksjoner er periodiske, noe som betyr at de går tilbake til samme verdi etter en rotasjon over en periode. Eksempler:
     • Funksjonen f (x) = sin x har 2Pi som en periode.
     • Funksjonen f (x) = tan x har Pi som en periode.
     • Funksjonen f (x) = sin 2x har Pi som en periode.
     • Funksjonen f (x) = cos (x / 2) har 4Pi som periode.
   • Hvis perioden er spesifisert i øvelsene / testen, trenger du bare å finne kurven (e) x innen denne perioden.
   • MERK: Å løse trigonometriske ligninger er vanskelig og fører ofte til feil og feil. Derfor bør svarene sjekkes nøye. Etter løsning kan du sjekke svarene ved hjelp av en grafkalkulator for en direkte representasjon av den gitte trigonometriske ligningen R (x) = 0. Svarene (som kvadratrot) er gitt desimaler. Som et eksempel har Pi en verdi på 3,14