Innhold

• Trinn
• Del 1 av 3: Trekk ut kubrotet med et enkelt eksempel
• Del 2 av 3: Cube Root Estimation
• Del 3 av 3: Forklare beregningsprosessen beskrevet
• Tips
• Advarsler
• Hva trenger du

Hvis du har en kalkulator tilgjengelig, kan du enkelt trekke ut kubrotet til et hvilket som helst tall. Men hvis du ikke har en kalkulator, eller bare vil imponere andre, kan du trekke ut kubrotet manuelt. For de fleste vil prosessen som beskrives her virke ganske komplisert, men med praksis vil det bli mye lettere å trekke ut kuberøtter. Før du begynner å lese denne artikkelen, husk de grunnleggende matematiske operasjonene og beregningene med tall i en terning.

Trinn

Del 1 av 3: Trekk ut kubrotet med et enkelt eksempel

1. 1 Skriv ned oppgaven. Manuell kubrotrotaksjon ligner på lang divisjon, men med noen nyanser. Skriv først ned oppgaven i en bestemt form.
   • Skriv ned tallet du vil trekke ut kubrotet fra. Del tallet inn i grupper på tre sifre, og begynn å telle med et desimaltegn. For eksempel må du trekke ut kubrotet på 10. Skriv tallet slik: 10 000 000. Ytterligere nuller brukes for å forbedre presisjonen til resultatet.
   • Tegn et rottegn ved siden av og over tallet. Tenk deg at dette er de horisontale og vertikale linjene du tegner i lange divisjoner. Den eneste forskjellen er formen på de to karakterene.
   • Plasser et desimalpunkt over den horisontale linjen. Gjør dette rett over desimalpunktet til det opprinnelige tallet.
2. 2 Husk resultatene av kubing av heltall. De vil bli brukt i beregninger.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Finn det første sifferet i svaret. Velg en heltallskube som er nærmest, men mindre enn den første gruppen på tre sifre.
   • I vårt eksempel er den første gruppen på tre sifre 10. Finn den største kuben som er mindre enn 10. Denne kuben er 8, og kuben roten på 8 er 2.
   • Over den horisontale linjen over tallet 10, skriv tallet 2. Skriv deretter ned verdien på operasjonen ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 under 10. Tegn en linje og trekk 8 fra 10 (som i lang divisjon). Resultatet er 2 (dette er den første resten).
   • Dermed har du funnet det første tallet i svaret. Vurder om det gitte resultatet er nøyaktig nok. I de fleste tilfeller vil dette være et veldig grovt svar. Cub resultatet for å finne ut hvor nær det opprinnelige nummeret er. I vårt eksempel: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, som ikke er veldig nær 10, så beregningene må fortsettes.
4. 4 Finn neste siffer i svaret. Legg den andre gruppen med tre tall til den første resten, og tegne en vertikal linje til venstre for det resulterende tallet. Ved å bruke det resulterende tallet finner du det andre sifferet i svaret. I vårt eksempel må den andre gruppen på tre sifre (000) legges til den første resten (2) for å få tallet 2000.
   • Til venstre for den vertikale linjen skriver du tre tall, hvor summen er lik en første faktor. La det stå tomme mellomrom for disse tallene, og sett pluss -tegn mellom.
5. 5 Finn det første uttrykket (av tre). I det første tomme feltet skriver du ned resultatet av å multiplisere 300 med kvadratet til det første sifferet i svaret (det er skrevet over rottegnet). I vårt eksempel er det første sifferet i svaret 2, så 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Skriv 1200 i det første mellomrommet. Det første uttrykket er 1200 (pluss ytterligere to tall å finne).
6. 6 Finn det andre sifferet i svaret. Finn ut hvilket tall du trenger for å multiplisere 1200 slik at resultatet er nært, men ikke overstiger 2000. Dette tallet kan bare være 1, siden 2 * 1200 = 2400, som er mer enn 2000. Skriv 1 (andre siffer i svar) etter 2 og desimal komma over rottegnet.
7. 7 Finn det andre og tredje uttrykket (av tre). Faktoren består av tre tall (termer), hvorav det første du allerede har funnet (1200). Nå må vi finne de resterende to begrepene.
   • Multipliser 3 med 10 og med hvert siffer i svaret (de er skrevet over rottegnet). I vårt eksempel: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Legg dette resultatet til 1200 og få 1260.
   • Til slutt kvadrerer du det siste sifferet i svaret ditt. I vårt eksempel er det siste sifferet i svaret 1, så 1 ^ 2 = 1. Så den første faktoren er summen av følgende tall: 1200 + 60 + 1 = 1261. Skriv dette tallet til venstre for den vertikale linjen .
8. 8 Multipliser og trekk fra. Multipliser det siste sifferet i svaret (i vårt eksempel er det 1) med funnet faktor (1261): 1 * 1261 = 1261. Skriv dette tallet under 2000 og trekk det fra 2000. Du får 739 (dette er det andre rest).
9. 9 Vurder om svaret du mottok er nøyaktig nok. Gjør dette hver gang du fullfører den neste subtraksjonen. Etter den første subtraksjonen var svaret 2, som ikke er et eksakt resultat. Etter den andre subtraksjonen er svaret 2.1.
   • For å kontrollere nøyaktigheten av svaret, kub det: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Hvis du synes svaret er nøyaktig nok, trenger du ikke å fortsette beregningene; ellers gjør en ny subtraksjon.
10. 10 Finn den andre faktoren. For å øve beregningene dine og få et mer nøyaktig resultat, gjenta trinnene ovenfor.
    • Legg den tredje gruppen på tre sifre (000) til den andre resten (739). Du får nummeret 739000.
    • Multipliser 300 med kvadratet av tallet skrevet over rottegnet (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Finn det tredje sifferet i svaret. Finn ut hvilket tall du trenger for å multiplisere 132300 slik at resultatet blir nært, men ikke overstiger 739000. Det tallet er 5: 5 * 132200 = 661500. Skriv 5 (tredje siffer i svaret) etter 1 over rottegnet.
    • Multipliser 3 med 10 med 21 og med det siste sifferet i svaret (de er skrevet over rottegnet). I vårt eksempel: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Til slutt kvadrerer du det siste sifferet i svaret ditt. I vårt eksempel er det siste sifferet i svaret 5, altså ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Den andre faktoren er således: 132300 + 3150 + 25 = 135,475.
11. 11 Multipliser det siste sifferet i svaret ditt med den andre faktoren. Etter at du har funnet den andre faktoren og det tredje sifferet i svaret, gjør du som følger:
    • Multipliser det siste sifferet i svaret med faktoren som er funnet: 135475 * 5 = 677375.
    • Trekk fra: 739000 - 677375 = 61625.
    • Vurder om svaret du mottok er nøyaktig nok. For å gjøre dette, kube det: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Skriv ned svaret ditt. Resultatet skrevet over rottegnet er svaret med to desimaler. I vårt eksempel er kuberoten til 10 2,15. Kontroller svaret ditt ved å kaste det: 2.15 ^ 3 = 9.94, som er omtrent 10. Hvis du trenger mer presisjon, fortsett beregningen (som beskrevet ovenfor).

Del 2 av 3: Cube Root Estimation

1. 1 Bruk terninger med tall for å bestemme øvre og nedre grenser. Hvis du trenger å trekke ut kubrotet til nesten hvilket som helst tall, finner du terninger (noen tall) som er nær det oppgitte tallet.
   • For eksempel må du trekke ut kubrotet på 600. Siden ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ og ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, da er kube roten på 600 mellom 8 og 9. Bruk derfor 512 og 729 som øvre og nedre grense for svaret ditt.
2. 2 Vurder det andre tallet. Du fant det første tallet takket være din kunnskap om terningene i heltall. Konverter nå et helt tall til en desimalbrøk ved å tilordne det (etter desimalpunktet) et siffer fra 0 til 9. Du må finne en desimalbrøk, hvis terning er nær, men mindre enn det opprinnelige tallet.
   • I vårt eksempel er tallet 600 mellom 512 og 729. For eksempel, til tallet som ble funnet først (8), legg til tallet 5. Du får tallet 8,5.
3. 3 Anslå det resulterende tallet ved å bygge det inn i en terning. Gjør dette for å kontrollere at terningen er nær, men ikke større enn det opprinnelige nummeret.
   • I vårt eksempel: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Vurder et annet nummer om nødvendig. Sammenlign kuben til det resulterende tallet med det originale nummeret. Hvis kuben til det resulterende tallet er større enn det opprinnelige tallet, kan du prøve å evaluere et lavere tall. Hvis kuben til det resulterende tallet er mye mindre enn det opprinnelige tallet, må du vurdere de store tallene til kuben til en av dem overstiger det opprinnelige tallet.
   • I vårt eksempel: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Beregn således det mindre tallet 8,4. Kube dette nummeret og sammenlign det med det opprinnelige nummeret: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Dette resultatet er mindre enn det opprinnelige tallet. Dermed er kube roten på 600 mellom 8,4 og 8,5.
5. 5 Evaluer det neste tallet for å forbedre nøyaktigheten av svaret ditt. For hvert tall du vurderte sist, legg til et tall fra 0 til 9 til du får det eksakte svaret. I hver evalueringsrunde må du finne de øvre og nedre grensene som det opprinnelige tallet er mellom.
   • I vårt eksempel: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ og ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Det originale tallet 600 er nærmere 592 enn til 614. Derfor, til det siste tallet du anslått, legger du til et siffer som er nærmere 0 enn til 9. For eksempel er dette tallet 4. Derfor kubbe tallet 8.44.
6. 6 Vurder et annet nummer om nødvendig. Sammenlign kuben til det resulterende tallet med det originale nummeret. Hvis kuben til det resulterende tallet er større enn det opprinnelige tallet, kan du prøve å evaluere et lavere tall. Kort sagt, du må finne to tall hvis terninger er litt større og litt mindre enn det opprinnelige tallet.
   • I vårt eksempel ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... Dette er litt større enn det opprinnelige tallet, så vurder et annet (mindre) tall, for eksempel 8.43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Dermed er kube roten på 600 mellom 8,43 og 8,44.
7. 7 Følg denne prosessen til du får et svar som er tilfredsstillende for deg. Evaluer det neste tallet, sammenlign det med originalen, evaluer deretter et annet tall om nødvendig, og så videre. Vær oppmerksom på at hvert ekstra siffer etter desimaltegnet øker nøyaktigheten av svaret ditt.
   • I vårt eksempel er kuben til tallet 8.43 mindre enn det opprinnelige tallet med mindre enn 1. Hvis du trenger mer presisjon, kube tallet 8.434 og få det ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$, det vil si at resultatet er mindre enn 0,1 mindre enn det opprinnelige tallet.

Del 3 av 3: Forklare beregningsprosessen beskrevet

1. 1 Husk binomialserien. En binomial -serie er resultatet av å heve et binomial (binomial) til en viss kraft, i dette tilfellet til en kube. For å forstå algoritmen for ekstraksjon av kube rot som er beskrevet her, må du først huske hvordan et binomial er terning. Sjansen er stor for at du lærte dette på skolen (og sannsynligvis glemte du snart, som de fleste gjør). Variabler ${ displaystyle A}$ og ${ displaystyle B}$ merk noen enkelt siffer. Deretter kan det tosifrede tallet skrives som et binomial ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Her er medlemmet ${ displaystyle 10A}$ representerer titalls plass, det vil si hvis ${ displaystyle A}$ Er da et ensifret tall ${ displaystyle 10A}$ - dette er allerede det tilsvarende tosifrede tallet. For eksempel hvis ${ displaystyle A}$ = 2, og ${ displaystyle B}$ = 6, da ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, det vil si at du har et tosifret nummer 26.
2. 2 Kube kikkerten. Gjør dette for å forstå prosessen med ekstraksjon av kube rot som er beskrevet i den første delen. Regne ut ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (her har vi utelatt flere stadier av terningkonstruksjon, for ikke å rote opp artikkelen med beregninger).
   • En detaljert forklaring finner du her.
3. 3 Forstå algoritmen for lang divisjon. Vær oppmerksom på at kube rotmetoden beskrevet her er veldig lik lang divisjon. Når du deler i en kolonne, må du finne tallet (kvotienten), når du multipliserer med divisoren, får du utbyttet. I den beskrevne metoden brukes resultatet av å trekke ut kubrot (det er skrevet over rottegnet) som kvotienten. Det vil si at resultatet av ekstraksjon av kuberoten kan representeres som et binomial (10A + B). De eksakte verdiene til A og B er ikke viktige på dette stadiet: bare husk at resultatet kan skrives som et binomial.
4. 4 Se på det binomiske området. Det er summen av fire monomier, takket være det du kan forstå prinsippet for driften av kube rotekstraksjonsalgoritmen. Vær oppmerksom på at multiplikatoren for hvert trinn i ekstraksjonen av roten er lik summen av de fire begrepene som må beregnes og legges til.
   • Faktoren for det første uttrykket er 1000. For å beregne det første sifferet i svaret, finner du først kuben til et heltall som er nærmest, men mindre enn et visst tall (nemlig den første gruppen på tre sifre). Dette definerer 1000A ^ 3 -medlemmet i binomialserien.
   • Multiplikatoren til den andre termen i binomial -serien er tallet 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Husk at på hvert trinn i kubrotrotaksjon ble det tilsvarende sifferet (e) i svaret multiplisert med 300.
   • Det andre uttrykket på hvert trinn i rotekstraksjon bestemmes av det tredje uttrykket i binomialserien, som er lik 30AB ^ 2.
   • Det tredje uttrykket på hvert trinn i rotekstraksjon bestemmes av det fjerde uttrykket i binomialserien, som er lik B ^ 3.
5. 5 Legg merke til økningen i nøyaktigheten av svaret. Jo flere stadier av rotekstraksjon du går gjennom, desto mer nøyaktig blir svaret. For eksempel, i denne artikkelen, trengte du å trekke ut terningen av 10. På første trinn er svaret 2, siden ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, som er nær, men mindre enn 10. På den andre fasen er svaret 2.1, fordi ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, som er mye nærmere 10. På den tredje fasen er svaret 2,15, siden ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Du kan fortsette beregningen ved å bruke grupper på tre sifre for å forbedre svarets nøyaktighet.

Tips

• Øv deg på å mestre metodene som er beskrevet. Jo mer du trener, jo raskere kommer du deg gjennom beregningene.

Advarsler

• Det er ganske enkelt å gjøre en feil i beregningsprosessen. Så sørg for å sjekke svaret.

Hva trenger du

• Penn eller blyant
• Papir
• Hersker
• Viskelær