Hvordan bruke Laplace -transformasjonen på en funksjon

Innhold

Foreløpig informasjon
Trinn
Del 1 av 3: The Basics
Del 2 av 3: Egenskaper for Laplace -transformasjonen
Del 3 av 3: Finne Laplace -transformasjonen etter serieutvidelse

Laplace -transformasjonen er en integrert transformasjon som brukes til å løse differensialligninger med konstante koeffisienter. Denne transformasjonen er mye brukt i fysikk og ingeniørfag.

Selv om du kan bruke de riktige tabellene, er det nyttig å forstå Laplace -transformasjonen, slik at du kan gjøre det selv om nødvendig.

Foreløpig informasjon

Gitt en funksjon f(t){ displaystyle f (t)}definert for t≥0.{ displaystyle t geq 0.} Deretter Laplace -transformasjon funksjon f(t){ displaystyle f (t)} er den neste funksjonen til hver verdi s{ displaystyle s}, der integralen konvergerer:
- ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
Laplace-transformasjonen tar en funksjon fra t-regionen (tidsskala) til s-regionen (transformasjonsregionen), hvor ${ displaystyle F (s)}$ er en kompleks funksjon av en kompleks variabel. Den lar deg flytte funksjonen til et område der en løsning er lettere å finne.
Tydeligvis er Laplace -transformasjonen en lineær operator, så hvis vi har å gjøre med en sum av termer, kan hver integral beregnes separat.
- ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
Husk at Laplace -transformasjonen bare fungerer hvis integralet konvergerer. Hvis funksjonen ${ displaystyle f (t)}$ har diskontinuiteter, er det nødvendig å være forsiktig og korrekt sette grensene for integrasjon for å unngå usikkerhet.

Trinn

Del 1 av 3: The Basics

1 Erstatt funksjonen i Laplace -transformasjonsformelen. Teoretisk sett er Laplace -transformasjonen av en funksjon veldig lett å beregne. Som et eksempel, tenk på funksjonen f(t)=eent{ displaystyle f (t) = e ^ {at}}, hvor en{ displaystyle a} er en kompleks konstant med Re⁡(s)Re⁡(en).{ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2 Vurder integralet ved hjelp av tilgjengelige metoder. I vårt eksempel er estimatet veldig enkelt, og du kan klare deg med enkle beregninger. I mer komplekse tilfeller kan det være nødvendig med mer komplekse metoder, for eksempel integrering av deler eller differensiering under det integrerte tegnet. Begrensningstilstand Re⁡(s)Re⁡(en){ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)} betyr at integralet konvergerer, det vil si at verdien har en tendens til 0 som t→∞.{ displaystyle t to infty.}
- ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {justert}}}$
- Vær oppmerksom på at dette gir oss to typer Laplace -transform, med sinus og cosinus, siden ifølge Eulers formel eJegent{ displaystyle e ^ {iat}}... I dette tilfellet får vi i nevneren s−Jegen,{ displaystyle s-ia,} og det gjenstår bare å bestemme de virkelige og imaginære delene. Du kan også evaluere resultatet direkte, men det vil ta litt lengre tid.
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3 Tenk på Laplace -transformasjonen av en kraftfunksjon. Først må du definere transformasjonen av effektfunksjonen, siden linearitetsegenskapen lar deg finne transformasjonen for av alle polynomer. En funksjon av skjemaet tn,{ displaystyle t ^ {n},} hvor n{ displaystyle n} - ethvert positivt heltall. Kan integreres stykke for stykke for å definere en rekursiv regel.
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
- Dette resultatet uttrykkes implisitt, men hvis du erstatter flere verdier n,{ displaystyle n,} du kan etablere et bestemt mønster (prøv å gjøre det selv), som lar deg få følgende resultat:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
- Du kan også definere Laplace -transformasjonen av fraksjonelle krefter ved å bruke gamma -funksjonen. For eksempel kan du på denne måten finne transformasjonen av en funksjon som f.eks f(t)=t.{ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}}$
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
- Selv om funksjoner med brøkdeler må ha kutt (husk alle komplekse tall ${ displaystyle z}$ og ${ displaystyle alpha}$ kan skrives som ${ displaystyle z ^ { alpha}}$ , fordi det ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$ ), kan de alltid defineres på en slik måte at kuttene ligger i venstre halvplan, og dermed unngå problemer med analysen.

Del 2 av 3: Egenskaper for Laplace -transformasjonen

1 La oss finne Laplace -transformasjonen av funksjonen multiplisert med eent{ displaystyle e ^ {at}}. Resultatene oppnådd i forrige seksjon tillot oss å finne ut noen interessante egenskaper ved Laplace -transformasjonen. Laplace -transformasjonen av funksjoner som cosinus, sinus og eksponensiell funksjon ser ut til å være enklere enn effektfunksjonstransformen. Multiplikasjon med eent{ displaystyle e ^ {at}} i t-regionen tilsvarer skifte i s-regionen:
- ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
- Denne egenskapen lar deg umiddelbart finne transformasjonen av funksjoner som f.eks f(t)=e3tsynd⁡2t{ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}, uten å måtte beregne integralet:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2 La oss finne Laplace -transformasjonen av funksjonen multiplisert med tn{ displaystyle t ^ {n}}. Vurder først multiplikasjon med t{ displaystyle t}... Per definisjon kan man differensiere en funksjon under en integral og få et overraskende enkelt resultat:
- ${ displaystyle { begynne {justert} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { delvis s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
- Når vi gjentar denne operasjonen, får vi det endelige resultatet:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
- Selv om omorganisering av operatørene for integrasjon og differensiering krever ytterligere begrunnelse, vil vi ikke presentere det her, men bare merke til at denne operasjonen er riktig hvis det endelige resultatet er fornuftig. Du kan også ta hensyn til det faktum at variablene ${ displaystyle s}$ og ${ displaystyle t}$ ikke avhengig av hverandre.
- Ved å bruke denne regelen er det lett å finne transformasjonen av funksjoner som f.eks t2cos⁡2t{ displaystyle t ^ {2} cos 2t}, uten re-integrering av deler:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3 Finn Laplace -transformasjonen av funksjonen f(ent){ displaystyle f (at)}. Dette kan enkelt gjøres ved å erstatte variabelen med u ved å bruke definisjonen av en transform:
- ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F venstre ({ frac {s} {a}} høyre) ende {justert}}}$
- Over fant vi Laplace -transformasjonen av funksjoner ${ displaystyle sin at}$ og ${ displaystyle cos at}$ direkte fra den eksponentielle funksjonen. Ved å bruke denne egenskapen kan du få det samme resultatet hvis du finner de virkelige og imaginære delene ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$ .
4 Finn Laplace -transformasjonen av derivatet f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. I motsetning til de tidligere eksemplene, i dette tilfellet må integrere stykke for stykke:
- ${ displaystyle { begynne {justert} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
- Siden det andre derivatet forekommer i mange fysiske problemer, finner vi Laplace -transformasjonen også for det:
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
- I det generelle tilfellet er Laplace -transformasjonen til nderordens derivat definert som følger (dette gjør det mulig å løse differensialligninger ved hjelp av Laplace -transformasjonen):
  - ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Del 3 av 3: Finne Laplace -transformasjonen etter serieutvidelse

1 La oss finne Laplace -transformasjonen for en periodisk funksjon. Den periodiske funksjonen tilfredsstiller betingelsen f(t)=f(t+nT),{ displaystyle f (t) = f (t + nT),} hvor T{ displaystyle T} er perioden for funksjonen, og n{ displaystyle n} er et positivt heltall. Periodiske funksjoner er mye brukt i mange applikasjoner, inkludert signalbehandling og elektroteknikk. Ved å bruke enkle transformasjoner får vi følgende resultat:
- ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { justert}}}$
- Som du kan se, i tilfelle av en periodisk funksjon, er det tilstrekkelig å utføre Laplace -transformasjonen i en periode.
2 Utfør Laplace -transformasjonen for den naturlige logaritmen. I dette tilfellet kan integralet ikke uttrykkes i form av elementære funksjoner. Ved å bruke gammafunksjonen og serieutvidelsen kan du estimere den naturlige logaritmen og dens grader. Tilstedeværelsen av Euler-Mascheroni-konstanten γ{ displaystyle gamma} viser at for å estimere dette integralet, er det nødvendig å bruke en serieutvidelse.
- ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3 Tenk på Laplace -transformasjonen av den unormaliserte sinc -funksjonen. Funksjon synk⁡(t)=synd⁡tt{ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}} mye brukt for signalbehandling, i differensialligninger tilsvarer den den sfæriske Bessel -funksjonen av den første typen og null rekkefølge j0(x).{ displaystyle j_ {0} (x).} Laplace -transformasjonen av denne funksjonen kan heller ikke beregnes med standardmetoder. I dette tilfellet utføres transformasjonen av individuelle medlemmer av serien, som er kraftfunksjoner, så transformasjonene deres nødvendigvis konvergerer på et gitt intervall.
- Først skriver vi utvidelsen av funksjonen i en Taylor -serie:
  - ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
- Nå bruker vi den allerede kjente Laplace -transformasjonen av en effektfunksjon. Fabrikkene blir kansellert, og som et resultat får vi Taylor -utvidelsen for arctangenten, det vil si en vekslende serie som ligner Taylor -serien for sinus, men uten faktorialer:
  - ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$