Hvordan lage matematisk bevis

Video: Matematikk R1: Bevis Del 1: Direkte bevis

Innhold

Trinn
Metode 1 av 3: Forstå problemstillingen
Metode 2 av 3: Formuler beviset
Metode 3 av 3: Skriv ned bevisene
Tips

Å finne et matematisk bevis kan være en skremmende oppgave, men å kjenne matematikken og skrive beviset vil hjelpe deg. Dessverre er det ingen raske og enkle metoder for å lære å løse matematiske problemer. Det er nødvendig å studere emnet riktig og huske de grunnleggende teoremer og definisjoner som vil være nyttige for deg når du beviser et bestemt matematisk postulat. Studer eksempler på matematiske bevis og øv deg på å hjelpe deg med å forbedre dine ferdigheter.

Trinn

Metode 1 av 3: Forstå problemstillingen

1 Bestem hva du vil finne. Det første trinnet er å finne ut hva som må bevises. Blant annet vil dette avgjøre den siste uttalelsen i beviset ditt. På dette stadiet bør du også gjøre visse forutsetninger du vil arbeide innenfor. For å bedre forstå problemet og begynne å løse det, finn ut hva du trenger å bevise og gjør de nødvendige forutsetningene.
2 Tegn en tegning. Når du løser matematiske problemer, er det noen ganger nyttig å skildre dem i form av et bilde eller diagram. Dette er spesielt viktig i tilfelle geometriske problemer - tegningen hjelper til med å visualisere tilstanden og letter søket etter en løsning i stor grad.
- Når du lager et bilde eller diagram, bruker du dataene som er gitt i tilstanden. Merk de kjente og ukjente mengdene i figuren.
- Tegningen vil gjøre det lettere for deg å finne bevisene.
3 Studer bevis på lignende teoremer. Hvis du ikke finner en løsning med en gang, kan du finne lignende setninger og se hvordan de bevises.
- Vær oppmerksom på at du må angi hvert trinn i beviset. Se hvordan forskjellige teoremer bevises på Internett eller i mattebøker.
4 Stille spørsmål. Det er greit hvis du ikke klarer å finne bevis med en gang.Hvis du er uklar om noe, kan du spørre læreren eller klassekameratene om det. Kanskje har kameratene dine de samme spørsmålene, og du kan løse dem sammen. Det er bedre å stille noen spørsmål enn å prøve og uten hell finne bevis om og om igjen.
- Gå til læreren etter timene og finn ut eventuelle uklare spørsmål.

Metode 2 av 3: Formuler beviset

1 Formuler et matematisk bevis. Et matematisk bevis er en sekvens av utsagn støttet av teoremer og definisjoner som beviser et matematisk postulat. Bevis er den eneste måten å avgjøre om et utsagn er matematisk korrekt.
- Evnen til å skrive ned matematiske bevis vitner om en dyp forståelse av problemet og mestring av de nødvendige verktøyene (lemmas, teoremer og definisjoner).
- Rigorøst bevis kan hjelpe deg med å se nytt på matematikk og få en følelse av fascinasjonen. Bare prøv å bevise et utsagn for å få en ide om matematiske metoder.
2 Tenk på publikummet ditt. Før du begynner å registrere bevis, bør du tenke over hvem det er for og ta hensyn til kunnskapsnivået til disse menneskene. Hvis du skriver ned bevis for videre publisering i et vitenskapelig tidsskrift, vil det være annerledes enn når du gjør en skoleoppgave.
- Å kjenne din målgruppe vil tillate deg å skrive ned bevisene mens du trener leserne til å forstå det.
3 Bestem type bevis. Det finnes flere typer matematiske bevis, og valget av en bestemt form avhenger av målgruppen og problemet som løses. Ta kontakt med læreren din hvis du er usikker på hvilken art du skal velge. På videregående skole kreves to-kolonne bevis.
- Når du skriver bevis i to kolonner, registrerer den ene de første dataene og utsagnene, og den andre - det tilsvarende beviset på disse utsagnene. Denne formen for notasjon brukes ofte når du løser geometriske problemer.
- På en mindre formell måte å skrive bevis på, brukes grammatisk korrekte konstruksjoner og færre symboler. På høyere nivåer er dette notasjonen som bør brukes.
4 Skiss beviset i to kolonner. Dette skjemaet hjelper til med å organisere tanker og konsekvent løse problemet. Del siden i to med en vertikal linje, og skriv originaldataene og uttalelsene som følger av den på venstre side. Skriv ned de tilsvarende definisjonene og setningene på høyre side av hver setning.
- For eksempel:
- hjørnene A og B er tilstøtende - gitt;
- vinkel ABC er flat - definerer et flat hjørne;
- vinkelen ABC er 180 ° - definerer en rett linje;
- vinkel A + vinkel B = vinkel ABC - regelen for å legge til vinkler;
- vinkel A + vinkel B = 180 ° - substitusjon;
- vinkel A er komplementær til vinkel B - definisjon av ytterligere vinkler;
- Q.E.D.
5 Skriv ned to-kolonnen bevis som et uformelt bevis. Bruk en to-kolonne oppføring som grunnlag og skriv beviset i en kortere form med færre symboler og forkortelser.
- For eksempel: Anta at hjørnene A og B er tilstøtende. I følge hypotesen utfyller disse vinklene hverandre. Når det er tilstøtende, danner vinkel A og vinkel B en rett linje. Hvis hjørnets sider danner en rett linje, er vinkelen 180 °. Legg til vinklene A og B for å lage en rett linje ABC. Dermed er summen av vinklene A og B 180 °, det vil si at disse vinklene er komplementære. Q.E.D.

Metode 3 av 3: Skriv ned bevisene

1 Lær bevisspråket. Standard utsagn og fraser brukes til å skrive matematiske bevis. Du må lære disse setningene og vite hvordan du bruker dem.
- Uttrykket "Hvis A, så B" betyr at hvis utsagn A er sant, må setning B også være sann.
- "A hvis og bare hvis B" betyr at utsagn A og B enten er sanne eller falske samtidig. Denne konstruksjonen tilsvarer to samtidige utsagn: "Hvis A, så B" og "Hvis A mislykkes, holder ikke B".
- "A bare hvis B" tilsvarer "Hvis B, så A", så denne konstruksjonen er ikke vanlig. Likevel er det nødvendig å huske på det.
- Når du registrerer bevis, prøv å bruke "vi" i stedet for det personlige pronomenet "jeg".
2 Skriv ned alle originaldataene. Når du utarbeider et bevis, er det første du må gjøre å definere og skrive ut alt som er gitt i problemet. I dette tilfellet vil du ha alle de første dataene for øynene dine, på grunnlag av hvilke det er nødvendig å få en avgjørelse. Les problemoppgaven nøye og skriv ned alt som er gitt i den.
- For eksempel: bevis at to tilstøtende vinkler (vinkel A og vinkel B) utfyller hverandre.
- Gitt: tilstøtende hjørner A og B.
- Bevis: vinkel A er komplementær til vinkel B.
3 Definer alle variablene. I tillegg til å registrere de originale dataene, er det også nyttig å skrive ut resten av variablene. For å gjøre det lettere for leseren, skriv ned variablene helt i begynnelsen av beviset. Hvis ingen variabler er definert, kan leseren bli forvirret og ikke forstå beviset ditt.
- Ikke bruk tidligere udefinerte variabler under beviset.
- For eksempel: i problemet som er vurdert ovenfor, er variablene verdiene til vinklene A og B.
4 Prøv å finne beviset i motsatt rekkefølge. Mange problemer er lettere å løse i omvendt rekkefølge. Start med det du trenger for å bevise, og tenk på hvordan du kan koble konklusjonene til den opprinnelige tilstanden.
- Les start- og sluttrinnene på nytt, og se om de ligner hverandre. Når du gjør dette, bruker du de første betingelsene, definisjonene og lignende bevis fra andre problemer.
- Still deg selv spørsmål og gå videre. For å bevise individuelle utsagn, spør deg selv: "Hvorfor er dette tilfellet?" - og: "Kan det være feil?"
- Husk å skrive ned de enkelte trinnene i rekkefølge til du får det endelige resultatet.
- For eksempel: hvis vinklene A og B er komplementære, bør summen være 180 °. I henhold til definisjonen av tilstøtende vinkler danner vinklene A og B en rett linje ABC. Siden linjen danner en vinkel på 180 °, legger vinklene A og B opp til 180 °.
5 Ordne de enkelte trinnene i beviset slik at det er konsistent og logisk. Start fra begynnelsen og arbeid deg opp til en beviselig avhandling. Selv om det noen ganger er nyttig å starte på slutten av søket etter bevis, må du følge riktig rekkefølge når du skriver det. Separate teser bør følge etter hverandre slik at beviset er logisk og ikke reiser tvil.
- Vurder først antagelsene som er gjort.
- Bekreft utsagnene med enkle og greie trinn, slik at leseren ikke er i tvil om at de er riktige.
- Noen ganger må du skrive om beviset mer enn én gang. Fortsett å gruppere utsagn og bevis til du kommer til den mest logiske strukturen.
- For eksempel: la oss starte fra begynnelsen.
  - Vinklene A og B er tilstøtende.
  - Sidene på hjørnet ABC danner en rett linje.
  - Vinkel ABC er 180 °.
  - Vinkel A + Vinkel B = Vinkel ABC.
  - Vinkel A + Vinkel B = Vinkel 180 °.
  - Vinkel A er komplementær til vinkel B.
6 Ikke bruk piler og forkortelser i beviset. Ulike forkortelser og symboler kan brukes i utkastet, men ikke ta dem med i det siste utkastet, da dette kan forvirre leserne. Bruk ord som "derfor" og "da" i stedet.
- Som unntak er forståelige forkortelser tillatt, for eksempel "dvs. e. " (det vil si), men bruk dem på riktig måte.
7 Støtt hver avhandling med et teorem, lov eller definisjon. Beviset må være feilfritt. Du kan ikke komme med ubegrunnede uttalelser. Se hvordan bevis er bygd for problemer som ligner på dine.
- Prøv å bruke bevisene du finner på tilfeller der det ikke burde være sant, og se om det er det. Hvis beviset er gyldig i slike tilfeller, sjekk hvor du tok feil.
- Bevis for geometriske problemer er ofte skrevet i to kolonner. Påstander er skrevet til høyre, og bevisene deres er gitt til venstre. På samme tid utarbeides matematiske bevis i publikasjoner i form av avsnitt med passende grammatikk.
8 Avslutt bevisene med uttrykket "som nødvendig for å bevise". På slutten av beviset må det være en beviselig avhandling. Etter det bør du skrive "det som kreves for å bevise" (forkortet "h. Etc." eller et symbol i form av en fylt firkant) - dette betyr at beviset er komplett.
- På latin tilsvarer uttrykket "det som kreves for å bevise" forkortelsen Q.E.D. (quod erat demonstrandum, det vil si "det som måtte vises").
- Hvis du er i tvil om korrektheten i beviset er det bare å skrive noen fraser om hvilken konklusjon du har kommet til og hvorfor det er viktig.