Innhold

• Fremgangsmåte
• Råd

Hastighet er definert som hastigheten til et objekt i en gitt retning. I mange tilfeller, for å finne hastighet, bruker vi ligningen v = s / t, der v er hastigheten, s er den totale avstanden til objektets forskyvning fra sin opprinnelige posisjon, og t er tiden det tar for objektet å reise. gå hele veien. Imidlertid er denne formelen i teorien bare for hastighet medium av ting på vei. Ved å beregne hastigheten til objektet når som helst på avstanden. Det er Transporttid og er definert av ligningen v = (ds) / (dt), eller med andre ord, det er derivatet av ligningen for gjennomsnittshastigheten.

Fremgangsmåte

Del 1 av 3: Beregn øyeblikkelig hastighet

1. 

   
   
   Start med en ligning for å beregne hastighet etter forskyvningsavstand. For å finne øyeblikkelig hastighet, må vi først ha en ligning som indikerer objektets posisjon (i form av forskyvning) til et gitt øyeblikk. Det betyr at ligningen bare må ha en variabel S på den ene siden og snu t På den andre siden (ikke nødvendigvis bare en variabel), slik:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • I denne ligningen er variablene:

     s = forskyvning. Avstanden objektet beveget seg fra sin opprinnelige posisjon. For eksempel, hvis et objekt kan gå 10 meter fremover og 7 meter bakover, er dets totale reiseavstand 10 - 7 = 3 meter (ikke 10 + 7 = 17m).

     t = tid. Denne variabelen er enkel uten forklaring, vanligvis målt i sekunder.

2. 

   
   
   Ta derivatet av ligningen. Derivasjonen av ligningen er en annen ligning som viser avstandshellingen på et bestemt tidspunkt. For å finne ligningens derivat ved forskyvningsavstand, ta differensialen til funksjonen i henhold til følgende generelle regel for å beregne derivatet: Hvis y = a * x, er derivat = a * n * x. Dette gjelder alle vilkår på "t" -siden av ligningen.
   • Begynn med andre ord å få differensialet fra venstre til høyre på "t" -siden av ligningen. Når du møter variabelen "t", trekker du eksponenten med 1 og multipliserer begrepet med den opprinnelige eksponenten. Eventuelle konstante termer (termer uten "t") vil forsvinne fordi de multipliseres med 0. Prosessen er faktisk ikke så vanskelig som du kanskje tror - la oss ta ligningen i trinnet ovenfor som et eksempel:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Erstatt "s" med "ds / dt". For å vise at den nye ligningen er avledet av den opprinnelige firkanten, erstatter vi "s" med symbolet "ds / dt". I teorien er denne notasjonen "derivatet av s når det gjelder t". En enklere måte å forstå denne betegnelsen på, ds / dt er stigningen til et hvilket som helst punkt i den opprinnelige ligningen. For eksempel, for å finne hellingen til avstanden beskrevet av ligningen s = -1,5t + 10t + 4 på tidspunktet t = 5, erstatter vi "5" for t i derivatet av ligningen.
   • I eksemplet ovenfor ser derivatet av ligningen slik ut:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Erstatt en verdi for t i den nye ligningen for å finne øyeblikkelig hastighet. Nå som vi har den avledede ligningen, er det veldig enkelt å finne øyeblikkelig hastighet til enhver tid. Alt du trenger å gjøre er å velge en t-verdi og erstatte den med den deriverte ligningen. For eksempel, hvis vi vil finne den øyeblikkelige hastigheten ved t = 5, trenger vi bare å erstatte "5" for t i den avledede ligningen ds / dt = -3t + 10. Vi løser ligningen slik:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 meter / sekund

   • Merk at vi bruker enheten "meter / sekund" ovenfor.Siden vi løser problemet med forskyvning i meter og tid i sekunder, hvor hastighet er nøyaktig forskyvning i tid, er denne enheten egnet.
   annonse

Del 2 av 3: Estimere øyeblikkelig hastighet grafisk

1. 

   Graf objektets bevegelsesavstand over tid. I avsnittet ovenfor sa vi at derivatet også er en formel som lar oss finne hellingen når som helst i ligningen hentet fra derivatet. Faktisk, hvis du viser bevegelsesavstanden til objektet i en graf, Helningen på grafen til enhver tid er objektets øyeblikkelige hastighet på det punktet.
   • For å tegne bevegelsesavstander, bruk x-aksen for tid og y-aksen for forskyvning. Du bestemmer deretter et antall punkter ved å koble verdiene til t til bevegelsesligningen, resultatet er s-verdier, og du prikker punktene t, s (x, y) på grafen.
   • Merk at grafen kan strekke seg under x-aksen. Hvis linjen som viser bevegelsen til objektet går ned x-aksen, betyr dette at objektet beveger seg bakover fra sin opprinnelige posisjon. Generelt vil ikke grafen strekke seg bak y-aksen - vi måler vanligvis ikke hastigheten på objekter som beveger seg tilbake i tid!

2. 

   Velg et punkt P og et punkt Q som ligger nær punkt P på grafen. For å finne hellingen til grafen ved punkt P, bruker vi teknikken med "limit finding". Å finne en grense betyr å ta to punkter (P og Q (et punkt nær P)) på kurven og finne hellingen til linjen som forbinder disse to punktene, og gjenta denne prosessen når avstanden mellom P og Q forkorter. gradvis.
   • Anta at forskyvningsavstanden har punkter (1; 3) og (4; 7). I dette tilfellet, hvis vi vil finne skråningen ved (1; 3), kan vi stille (1; 3) = P og (4; 7) = Q.

3. 

   Finn stigningen mellom P og Q. Hellingen mellom P og Q er forskjellen på y-verdiene for P og Q over forskjellen på x-verdiene for P og Q. Med andre ord, H = (y_Spørsmål - y_P) / (x_Spørsmål - x_P), hvor H er skråningen mellom to punkter. I dette eksemplet er hellingen mellom P og Q:
   

   H = (y_Spørsmål - y_P) / (x_Spørsmål - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Gjenta flere ganger ved å flytte Q nærmere P. Målet er å begrense avstanden mellom P og Q til de når et enkelt punkt. Jo mindre avstanden mellom P og Q er, desto nærmere vil skråningen til det uendelig lille segmentet være skråningen ved punkt P. Gjenta et par ganger for vår eksempelligning ved å bruke punkter (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) og (1.25; 3.49) gir Q og de innledende koordinatene til P er (1; 3):
   

   Q = (2; 4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Beregner hellingen til det ekstremt lille segmentet på grafkurven. Når Q kommer nærmere og nærmere P, vil H gradvis komme nærmere skråningen ved P. Til slutt, ved en veldig liten linje, vil H være skråningen på P. Fordi vi ikke kan måle eller beregne Lengden på en linje er ekstremt liten, så estimer bare skråningen på P når den er godt synlig fra punktene vi beregner.
   • I eksemplet ovenfor, når vi beveger oss H nærmere P, har vi verdiene for H på 1,8; 1,9 og 1,96. Siden disse tallene nærmer seg 2 kan vi si 2 er den omtrentlige verdien av skråningen ved P.
   • Husk at skråningen når som helst på grafen er avledet av grafligningen på det punktet. Siden grafen viser et objekts forskyvning over tid, som vi så i forrige avsnitt, er dets øyeblikkelige hastighet til enhver tid avledet av objektets forskyvningsavstand på problempunktet. Tilgang, kan vi si 2 meter / sek er et omtrentlig estimat av øyeblikkelig hastighet når t = 1.
   annonse

Del 3 av 3: Eksempel på problem

1. 

   Finn øyeblikkelig hastighet når t = 1 med forskyvningsligningen s = 5t - 3t + 2t + 9. Som eksemplet i første avsnitt, men dette er en kubikk i stedet for kvadratisk, slik at vi kan løse problemet på samme måte.
   • Først tar du derivatet av ligningen:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Deretter erstatter vi verdien av t (4) i:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 meter per sekund

2. 

   Bruk grafestimeringsmetoden for å finne øyeblikkelig hastighet ved (1; 3) for forskyvningsligningen s = 4t - t. For dette problemet bruker vi koordinater (1; 3) som punkt P, men vi må finne andre Q-punkter som ligger i nærheten av det. Så er alt vi trenger å finne H-verdiene og utlede den estimerte verdien.
   • Først finner vi Q-poeng når t = 2; 1,5; 1.1 og 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, altså Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, altså Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, altså Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så det er det Q = (1,01; 3,0704)

   • Deretter får vi H-verdier:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Siden H-verdiene ser ut til å være nærmere 7, kan vi si det 7 meter per sekund er det omtrentlige estimatet av øyeblikkelig hastighet ved koordinaten (1; 3).
   annonse

Råd

• For å finne akselerasjon (hastighetsendring over tid), bruk metoden i del 1 for å få derivatet av forskyvningsligningen. Ta deretter derivatet igjen for den derivative ligningen du nettopp fant. Resultatet er at du har en ligning for akselerasjonen på et gitt tidspunkt - alt du trenger å gjøre er å koble til tiden.
• Ligningen som viser forholdet mellom Y (forskyvningsavstand) og X (tid) kan være veldig enkel, da Y = 6x + 3. I dette tilfellet er hellingen konstant, og det er ikke nødvendig å ta derivatet for å beregne hellingen, det vil si at den følger den grunnleggende ligningen fra Y = mx + b for en lineær graf, dvs. at hellingen er lik 6.
• Forskyvningsavstanden er som avstand, men har en retning, så det er en vektormengde, og hastighet er en skalar mengde. Reiseavstander kan være negative, mens avstander bare kan være positive.