Innhold

• Å trå
• Metode 1 av 2: Metode 1: Kryssmultiplikasjon
• Metode 2 av 2: Metode to: Finne det minst vanlige multiple (LCM) av nevnerne
• Tips

En rasjonell funksjon er en brøkdel med en eller flere variabler i teller eller nevner. En rasjonell ligning er en hvilken som helst ligning som inneholder minst ett rasjonelt uttrykk. Som vanlige algebraiske ligninger, kan rasjonelle uttrykk løses ved å bruke samme operasjon på begge sider av ligningen til variabelen er isolert til den ene siden av likhetstegnet. To spesielle metoder, kryssmultiplikasjon og å finne det minst vanlige multiplumet av nevnerne, er spesielt nyttige for å isolere variabler og løse rasjonelle ligninger.

Å trå

Metode 1 av 2: Metode 1: Kryssmultiplikasjon

1. Omorganiser om ligningen for å sikre at det er en brøkdel på begge sider av likhetstegnet. Kryssmultiplikasjon er en rask metode for å løse rasjonelle ligninger. Dessverre fungerer denne metoden bare for rasjonelle ligninger som har nøyaktig ett rasjonelt uttrykk eller brøk på begge sider av likhetstegnet. Hvis dette ikke er tilfelle for ligningen din, trenger du sannsynligvis noen algebraiske operasjoner for å få vilkårene på rett sted.
   • For eksempel kan ligningen (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 enkelt konverteres til riktig kryssmultiplikasjonsform ved å legge til x / (- 2) til hver side av ligningen, slik at det blir et resultat ser slik ut: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Husk at desimaler og heltall kan konverteres til brøker ved å gi dem nevneren 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, kan for eksempel skrives om som (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, som gjør det mulig å bruke kryssmultiplikasjon.
   • Noen rasjonelle ligninger kan ikke enkelt konverteres til riktig form. I så fall bruker du metodene der du bruker minst vanlig multiplum av nevnerne.
2. Kryssmultiplikasjon. Kryssmultiplikasjon betyr ganske enkelt å multiplisere telleren for en brøk med nevneren for den andre og omvendt. Multipliser telleren til brøkdelen til venstre for likhetstegnet med brøkdelen til høyre. Gjenta med telleren til høyre og nevneren for brøkdelen til venstre.
   • Kryssmultiplikasjon fungerer i henhold til vanlige algebraiske prinsipper. Rasjonelle uttrykk og andre brøker kan konverteres til vanlige tall ved å multiplisere nevnerne. I utgangspunktet er kryssmultiplikasjon en praktisk forkortelsesmetode for å multiplisere begge sider av ligningen med begge nevnere av brøkene. Tror du ikke det? Prøv det - du vil se de samme resultatene etter forenkling.
3. Gjør de to produktene like. Etter kryssmultiplikasjon sitter du igjen med to produkter. Gjør disse to begrepene like og forenkle dem for å få de enkleste begrepene på hver side av ligningen.
   • For eksempel, hvis (x + 3) / 4 = x / (- 2) var ditt opprinnelige rasjonelle uttrykk, blir det etter kryssmultiplikasjon lik -2 (x + 3) = 4x. Dette kan eventuelt skrives om som -2x - 6 = 4x.
4. Løs for variabelen. Bruk algebraiske operasjoner for å finne verdien av variabelen i ligningen. Husk at hvis x vises på begge sider av likhetstegnet, må du sørge for at det bare er x termer på den ene siden av likhetstegnet ved å legge til eller trekke et x-begrep.
   • I vårt eksempel er det mulig å dele begge sider av ligningen med -2, noe som gir oss x + 3 = -2x. Å trekke x fra begge sider av likhetstegnet gir oss 3 = -3x. Og til slutt, når vi deler begge sider med -3, får vi -1 = x, eller også x = -1. Nå har vi funnet x som løser vår rasjonelle ligning.

Metode 2 av 2: Metode to: Finne det minst vanlige multiple (LCM) av nevnerne

1. Forstå når det å finne det minst vanlige mangfoldet av nevnere er åpenbart. Det minst vanlige multiple (LCM) av nevnerne kan brukes til å forenkle rasjonelle ligninger, noe som gjør det mulig å finne verdiene til variablene deres. Å finne en LCM er en god idé hvis den rasjonelle ligningen ikke lett kan skrives om til en form der det bare er en brøkdel eller et rasjonelt uttrykk på hver side av likhetstegnet. For å løse rasjonelle ligninger med tre termer eller mer, er LCM-er et nyttig verktøy. Men for å løse rasjonelle ligninger med bare to termer, er kryssmultiplikasjon ofte raskere.
2. Undersøk nevneren for hver brøk. Finn det minste tallet som er fullstendig delbart av en hvilken som helst nevner. Dette er LCM for ligningen din.
   • Noen ganger er det minst vanlige multiple - det minste tallet som er fullstendig delbart av hver av nevnerne - umiddelbart synlig. For eksempel, hvis uttrykket ditt ser ut som x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, er det lett å se at LCM må være delelig med 3, 2 og 6 og dermed lik 6.
   • Men oftere er LCM for en rasjonell sammenligning ikke klar i det hele tatt. I slike tilfeller kan du prøve multiplene av den største nevneren til du finner et tall som inkluderer multiplumene av de andre, mindre nevnerne. LCM er ofte et produkt av to nevnere. Ta for eksempel ligningen x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, hvor LCM er lik 8 * 9 = 72.
   • Hvis en eller flere nevnere inneholder en variabel, vil denne prosessen være noe vanskeligere, men den er på ingen måte umulig. I disse tilfellene er LCM et uttrykk (med variabler) som passer til alle nevnere, ikke bare et enkelt tall. Som et eksempel er ligningen 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), hvor LCM er lik 3x (x-1), fordi den er fullstendig delbar av en hvilken som helst nevner - divisjon med (x- 1 ) gir 3x, divisjon med 3x avkastning (x-1), og divisjon med x gir 3 (x-1).
3. Multipliser hver brøk i den rasjonelle ligningen med 1. Å multiplisere hvert begrep med 1 kan virke ubrukelig, men det er et triks her. 1 kan nemlig skrives som en brøkdel - f.eks. 2/2 og 3/3. Multipliser hver brøk i den rasjonelle ligningen med 1, skriv 1 hver gang som tallet eller begrepet ganget med hver nevner for å gi LCM som en brøkdel.
   • I vårt eksempel kan vi multiplisere x / 3 med 2/2 for å få 2x / 6 og multiplisere 1/2 med 3/3 for å få 3/6. 3x +1/6 har allerede en 6 (lcm) som nevner, så vi kan multiplisere den med 1/1 eller bare la den være.
   • I vårt eksempel med variabler i nevnerne er hele prosessen litt mer komplisert. Siden LCM tilsvarer 3x (x-1), multipliserer vi hvert rasjonelle uttrykk med en brøkdel som gir 3x (x-1) som nevneren. Vi multipliserer 5 / (x-1) med (3x) / (3x) og dette gir 5 (3x) / (3x) (x-1), vi multipliserer 1 / x med 3 (x-1) / 3 (x -1) og dette gir 3 (x-1) / 3x (x-1) og vi multipliserer 2 / (3x) med (x-1) / (x-1) og dette til slutt gir 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Forenkle og løse for x. Nå som hvert begrep i din rasjonelle ligning har samme nevner, er det mulig å eliminere nevnerne fra ligningen og løse tellerne. Multipliser ganske enkelt begge sider av ligningen med LCM for å kvitte seg med nevnerne, slik at du bare har tellerne igjen. Nå har det blitt en vanlig ligning som du kan løse for variabelen ved å isolere den på den ene siden av likhetstegnet.
   • I vårt eksempel, etter å ha multiplisert, ved å bruke 1 som en brøkdel, får vi 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. To brøker kan legges til hvis de har samme nevner, så vi kan skrive denne ligningen som (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 uten å endre verdien. Multipliser begge sider med 6 for å avbryte nevnerne, slik at 2x + 3 = 3x + 1 blir igjen. Her trekker du 1 fra begge sider for å la 2x + 2 = 3x og trekke 2x fra begge sider for å la 2 = x, som også kan skrives som x = 2.
   • I vårt eksempel med variabler i nevnerne, er ligningen etter å ha multiplisert hver term med "1" lik 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Å multiplisere hvert begrep med LCM gjør det mulig å avbryte nevnerne, noe som nå gir oss 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Utdypet videre blir dette 15x = 3x - 3 + 2x -2, som kan forenkles igjen som 15x = x - 5. Å trekke x fra begge sider gir 14x = -5, slik at det endelige svaret kan forenkles til x = - 5/14.

Tips

• Når du har funnet verdien av variabelen, sjekk svaret ditt ved å skrive inn denne verdien i den opprinnelige ligningen. Hvis du får verdien av variabelen riktig, bør du være i stand til å forenkle ligningen til en enkel, korrekt setning, for eksempel 1 = 1.
• Hver ligning kan skrives som et rasjonelt uttrykk; bare plasser den som teller over nevneren 1. Så ligningen x + 3 kan skrives som (x + 3) / 1, begge har samme verdi.