Innhold

• Å trå
• Metode 1 av 3: Bruk substitusjonsmetoden
• Metode 2 av 3: Bruk eliminasjonsmetoden
• Metode 3 av 3: Graf ligningene
• Tips
• Advarsler

I et "ligningssystem" blir du bedt om å løse to eller flere ligninger samtidig. Når disse to inneholder forskjellige variabler, som x og y, eller a og b, kan det ved første øyekast være vanskelig å se hvordan de skal løses. Heldigvis, når du først vet hva du skal gjøre, trenger du bare noen grunnleggende matematikkferdigheter (og noen ganger litt brøkkunnskap) for å løse problemet. Hvis det er nødvendig, eller hvis du er en visuell student, kan du også lære å tegne ligningene. Å tegne (tegne) en graf kan være nyttig for å "se hva som skjer", eller for å sjekke arbeidet ditt, men det kan også være tregere enn de andre metodene, og det fungerer ikke med alle ligningssystemer.

Å trå

Metode 1 av 3: Bruk substitusjonsmetoden

1. Flytt variablene til forskjellige sider av ligningen. Denne "substitusjonsmetoden" begynner med "å løse for x" (eller en hvilken som helst annen variabel) i en av ligningene. For eksempel har vi følgende ligninger: 4x + 2y = 8 og 5x + 3x = 9. Først av alt ser vi på den første sammenligningen. Omorganiser ved å trekke 2y fra hver side, og du får: 4x = 8-2y.
   • Denne metoden bruker ofte brøker på et senere tidspunkt. Du kan også bruke eliminasjonsmetoden nedenfor hvis du foretrekker å ikke jobbe med brøker.
2. Del begge sider av ligningen for å løse for "x". Når du har begrepet x (eller hvilken variabel du bruker) på den ene siden av ligningen, deler du begge sider av ligningen for å isolere variabelen. For eksempel:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½ år
3. Koble dette tilbake til den andre ligningen. Sørg for å gå tilbake til Andre sammenligning, ikke den du allerede har brukt. I den ligningen erstatter du variabelen du løste, og etterlater bare en variabel. For eksempel:
   • Du vet nå at: x = 2 - ½ år.
   • Den andre ligningen, som du ikke har endret ennå, er: 5x + 3x = 9.
   • I den andre ligningen erstatter du x med "2 - ½y": 5 (2 - ½ år) + 3 år = 9.
4. Løs for den gjenværende variabelen. Du har nå en ligning med bare en variabel. Bruk vanlige algebra-teknikker for å løse den variabelen. Hvis variablene avbryter hverandre, hopp til siste trinn. Ellers ender du opp med et svar på en av variablene dine:
   • 5 (2 - ½ år) + 3 år = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Hvis du ikke forstår dette trinnet, kan du lære hvordan du legger til brøker. Dette er ofte, men ikke alltid, nødvendig med denne metoden).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Bruk svaret til å løse den andre variabelen. Ikke gjør feilen ved å fullføre problemet halvveis. Du må skrive inn svaret du fikk i en av de opprinnelige ligningene, slik at du kan løse den andre variabelen:
   • Du vet nå at: y = -2
   • En av de opprinnelige ligningene er: 4x + 2y = 8. (Begge ligningene kan brukes til dette trinnet).
   • Koble til -2 i stedet for y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Vet hva du skal gjøre hvis begge variablene avbryter hverandre. Når du x = 3y + 2 eller få et lignende svar i den andre ligningen, prøver du å få en ligning med bare en variabel. Noen ganger ender du opp med en ligning i stedet uten variabler. Dobbeltsjekk arbeidet ditt, og sørg for å erstatte den (omorganiserte) første ligningen i den andre ligningen, og ikke den første ligningen. Hvis du er sikker på at du ikke har gjort noen feil, får du ett av følgende resultater:
   • Hvis du ender med en ligning uten variabler og som ikke er sant (f.eks. 3 = 5), har du problemet ingen løsning. (Hvis du har tegnet ligningene, vil du se at de er parallelle og aldri krysser hverandre).
   • Hvis du ender med en ligning uten variabler, men de vi vil er sant (for eksempel 3 = 3), så har det problemet et uendelig antall løsninger. De to ligningene er nøyaktig like. (Hvis du tegner graf for de to ligningene, vil du se at de overlapper nøyaktig).

Metode 2 av 3: Bruk eliminasjonsmetoden

1. Bestemmer variabelen som skal elimineres. Noen ganger vil ligningene "eliminere" hverandre i en variabel så snart du legger dem sammen. For eksempel når du gjør ligningene 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13 kombinerer, vil "+ 2y" og "-2y" avbryte hverandre, med alle "ys blir eliminert fra ligningen. Se på ligningene i problemet ditt for å finne ut om noen av variablene vil bli eliminert på denne måten. Hvis ingen av variablene elimineres, kan du lese videre til neste trinn for råd.
2. Multipliser en ligning for å avbryte en variabel. (Hopp over dette trinnet hvis variablene allerede har eliminert hverandre). Hvis ingen av variablene i ligningene avbrytes av seg selv, må du endre en av ligningene slik at den gjør det. Dette er lettest å forstå med et eksempel:
   • Anta at du har ligningssystemet 3x - y = 3 og -x + 2y = 4.
   • La oss endre den første ligningen slik at variabelen er y er eliminert. (Du kan også gjøre dette for X gjør og få det samme svaret).
   • De - y " av den første ligningen bør elimineres med + 2 år I den andre ligningen. Vi kan gjøre dette ved å - y multipliser med 2.
   • Vi multipliserer begge sider av den første ligningen med 2, som følger: 2 (3x - y) = 2 (3), og dermed 6x - 2y = 6. Nå vil - 2 år falle bort mot + 2 år i den andre ligningen.
3. Kombiner de to ligningene. For å kunne kombinere to ligninger, legg venstre og høyre side sammen. Hvis du har skrevet ligningen riktig, bør en av variablene avbrytes mot den andre. Her er et eksempel som bruker de samme ligningene som det siste trinnet:
   • Ligningene dine er: 6x - 2y = 6 og -x + 2y = 4.
   • Kombiner venstresidene: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Kombiner høyre sider: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Løs for den siste variabelen. Forenkle den kombinerte ligningen og bruk deretter grunnleggende algebra for å løse den siste variabelen. Hvis det ikke er noen variabler igjen etter forenkling, fortsett til siste trinn i denne delen. Ellers bør du avslutte med et enkelt svar på en av variablene dine. For eksempel:
   • Du har: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Gruppere variablene X og y med hverandre: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Forenkle: 5x = 10
   • Løs for x: (5x) / 5 = 10/5, så det x = 2.
5. Løs for de andre variablene. Du har funnet en variabel, men du er ikke helt ferdig ennå. Erstatt svaret ditt i en av de opprinnelige ligningene, slik at du kan løse den andre variabelen. For eksempel:
   • Du vet det x = 2, og den ene av de opprinnelige ligningene dine 3x - y = 3 er.
   • Plugg 2 inn, i stedet for x: 3 (2) - y = 3.
   • Løs y i ligningen: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, så 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Vet hva du skal gjøre når begge variablene avbryter hverandre. Noen ganger resulterer kombinasjonen av to ligninger i en ligning som ikke har noen betydning eller ikke hjelper deg med å løse problemet. Dobbeltsjekk arbeidet ditt fra begynnelsen, men hvis du ikke gjorde en feil, skriv ned ett av følgende svar:
   • Hvis den kombinerte ligningen din ikke har noen variabler og ikke er sant (som 2 = 7), er det det ingen løsning som holder for begge ligningene. (Hvis du tegner begge ligningene, vil du se at de er parallelle og aldri krysser hverandre).
   • Hvis den kombinerte ligningen din ikke har noen variabler og er sant (for eksempel 0 = 0), så er det et uendelig antall løsninger. De to ligningene er faktisk identiske. (Hvis du plasserer disse i en graf, vil du se at de overlapper hverandre helt).

Metode 3 av 3: Graf ligningene

1. Bruk bare denne metoden når spesifisert. Med mindre du bruker en datamaskin eller en grafkalkulator, kan mange ligningssystemer bare løses omtrent med denne metoden. Læreren eller matteboka kan be deg om å bruke denne metoden, så du er sannsynligvis kjent med grafiske ligninger som linjer. Du kan også bruke denne metoden for å sjekke om svarene dine fra noen av de andre metodene er riktige.
   • Den grunnleggende ideen er at du tegner begge ligningene og bestemmer punktet hvor de krysser hverandre. X- og y-verdiene på dette punktet gir verdien av x og verdien av y i ligningssystemet.
2. Løs begge ligningene for y. Hold de to ligningene atskilt, og bruk algebra til å konvertere hver ligning til skjemaet "y = __x + __". For eksempel:
   • Den første ligningen er: 2x + y = 5. Endre dette til: y = -2x + 5.
   • Den andre ligningen er: -3x + 6y = 0. Endre dette til 6y = 3x + 0, og forenkle til y = ½x + 0.
   • Er begge ligningene identiske, så blir hele linjen et "skjæringspunkt". Skrive: uendelige løsninger.
3. Tegn et koordinatsystem. Tegn en vertikal "y-akse" og en horisontal "x-akse" på et ark med grafpapir. Start på punktet der linjene krysser hverandre, og merk tallene 1, 2, 3, 4 osv. Opp y-aksen og høyre igjen langs x-aksen. Merk tallene -1, -2 osv. Langs y-aksen ned og til venstre langs x-aksen.
   • Hvis du ikke har grafpapir, bruk en linjal for å sikre at tallene er jevnt fordelt.
   • Hvis du bruker store tall eller desimaler, må du kanskje skalere diagrammet. (For eksempel 10, 20, 30 eller 0,1, 0,2, 0,3 i stedet for 1, 2, 3).
4. Tegn krysset y for hver linje. Når du har en ligning i skjemaet y = __x + __ du kan begynne å tegne den ved å sette opp et punkt der linjen avlytter y-aksen. Dette har alltid en y-verdi, lik det siste tallet i denne ligningen.
   • I de tidligere nevnte eksemplene, en linje (y = -2x + 5) inn i y-aksen 5. Den andre linjen (y = ½x + 0) går gjennom nullpunktet 0. (Dette er poeng (0,5) og (0,0) i grafen).
   • Angi hver av linjene med en annen farge, hvis mulig.
5. Bruk skråningen for å fortsette å tegne linjene. I skjemaet y = __x + __, er tallet for x th skråningen utenfor linjen. Hver gang x økes med en, vil y-verdien øke med hellingsverdien. Bruk denne informasjonen til å finne punktet på grafen for hver linje når x = 1. (Alternativt kan du erstatte x = 1 for hver ligning og løse for y).
   • I vårt eksempel har linjen y = -2x + 5 en skråning av -2. Ved x = 1 stiger linjen 2 ned ned fra punktet x = 0. Tegn linjesegmentet mellom (0,5) og (1,3).
   • Regelen y = ½x + 0har en skråning på ½. Ved x = 1 går linjen ½ opp fra punktet x = 0. Tegn linjesegmentet mellom (0,0) og (1, ½).
   • Når linjene har samme skråning linjene vil aldri krysse hverandre, så det er ingen løsning for ligningssystemet. Skrive: ingen løsning.
6. Fortsett å plotte linjene til de krysser hverandre. Stopp og se på diagrammet ditt. Hvis linjene allerede har krysset hverandre, fortsett til neste trinn. Ellers tar du en beslutning basert på hva linjene gjør:
   • Når linjene beveger seg mot hverandre, fortsetter du å tegne punkter i den retningen.
   • Hvis linjene beveger seg fra hverandre, går du tilbake og tegner punkter i den andre retningen, og begynner med x = -1.
   • Hvis linjene ikke er i nærheten av hverandre, kan du hoppe fremover og plotte lengre punkter, for eksempel x = 10.
7. Finn svaret i krysset mellom linjene. Når de to linjene krysser hverandre, er x- og y-verdiene på det tidspunktet løsningen på problemet. Hvis du er heldig, vil svaret være et helt tall. For eksempel, i eksemplene våre, krysser de to linjene (2,1) så er svaret ditt x = 2 og y = 1. I noen ligningssystemer vil linjene krysses til en verdi mellom to heltall, og med mindre grafen din er ekstremt nøyaktig, vil det være vanskelig å fortelle hvor dette er. Hvis dette er tilfelle, kan du gi et svar som: "x er mellom 1 og 2". Du kan også bruke substitusjonsmetoden eller eliminasjonsmetoden for å finne det eksakte svaret.

Tips

• Du kan sjekke arbeidet ditt ved å legge inn svarene i de opprinnelige ligningene. Hvis ligningene er sanne (for eksempel 3 = 3), er svaret ditt riktig.
• I eliminasjonsmetoden må du noen ganger multiplisere en ligning med et negativt tall for å eliminere en variabel.

Advarsler

• Disse metodene kan ikke brukes hvis du har å gjøre med et kraftnummer, for eksempel x. For å lære mer om ligninger av denne typen, trenger du en veiledning for faktorkvadrat med to variabler.