Innhold

• Å trå
• Del 1 av 3: Grunnleggende om analysen
• Del 2 av 3: Forstå derivater
• Del 3 av 3: Forstå integraler
• Tips

Analyse (også kalt calculus) er en gren av matematikk som fokuserer på grenser, funksjoner, derivater, integraler og uendelige serier. Dette emnet dekker mye matematikk, og ligger til grunn for mange av formlene og ligningene som brukes i fysikk og mekanikk. Du vil sannsynligvis trenge å ha hatt flere års matematikk på videregående for å forstå analyse riktig, men denne artikkelen vil få deg i gang med å lære å gjenkjenne nøkkelbegrepene, samt bedre forståelse av teorien.

Å trå

Del 1 av 3: Grunnleggende om analysen

1. Analyse er studiet av hvordan ting endrer seg. Analyse er en gren av matematikk som undersøker tall og grafer, vanligvis hentet fra virkelige data, og forklarer hvordan de endres. Selv om dette kanskje ikke virker veldig nyttig i begynnelsen, er analyse en av de mest brukte grenene av matematikk. Tenk deg å ha verktøyene for å fortelle deg hvor raskt virksomheten din vokser til enhver tid, eller hvordan du kan kartlegge et romskip, og hvor raskt drivstoffet blir brukt opp. Analyse er et viktig verktøy innen ingeniørfag, økonomi, statistikk, kjemi og fysikk, og har bidratt til mange oppfinnelser og funn.
2. Funksjoner er forhold mellom to tall og brukes til å kartlegge forhold. De er regler for forholdet mellom tall, og matematikere bruker dem til å lage grafer. I en funksjon har hver inngang nøyaktig ett utfall. For eksempel: i ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Tenk på begrepet uendelig. Uendelig er den konstante repetisjonen av en prosess. Det er ikke et bestemt sted (du kan ikke gå til uendelig), men heller oppførselen til et tall eller ligning, hvis det gjøres for alltid. Dette er viktig for å studere endring: det kan være lurt å vite hvor fort bilen din beveger seg til enhver tid, men er det hvor raskt bilen din beveger seg i løpet av det nåværende sekundet? Millisekund? Nanosekund? Du kan finne uendelig mindre tidstykker for å være enda mer presise, og det er når analysen kommer inn.
3. Forstå begrepet grenser. En grense forteller deg hva som skjer når noe nærmer seg uendelig. Ta tallet 1 og del det med 2. Fortsett å dele med 2 om og om igjen. 1 blir 1/2 og deretter 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 osv. Hver gang tallet blir mindre og mindre, "nærmere" null. Men hvor stopper det? Hvor mange ganger må du dele 1 med 2 for å få null? I stedet for å svare på dette spørsmålet, setter du det i analyse grense I dette tilfellet er grensen.
   • Grenser er det enkleste å visualisere i en graf - for eksempel er det punkter som en graf nesten berører, men aldri helt?
   • Grenser kan være antall, uendelige eller til og med ikke-eksisterende. For eksempel, med tilleggssekvensen 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... og dette fortsetter på ubestemt tid, blir det endelige tallet uendelig stort. Grensen blir da uendelig.
4. Gjennomgå de essensielle matematiske begrepene algebra, trigonometri og grunnleggende om matematikk. Analyse er avhengig av mye av matematikken du har lært før. Å være godt informert om alle temaene gjør det mye lettere å lære og forstå analyser. Noen emner å pusse opp på er:
   • Algebra. Du må forstå de forskjellige prosessene og kunne løse ligninger og ligningssystemer med flere variabler. Forstå det grunnleggende i samlinger. Øv på å lage grafer.
   • Geometri. Geometri er studiet av former. Du bør ha grunnleggende kunnskap om trekanter, rektangler og sirkler, og hvordan du beregner ting som omkrets og areal. Forstå vinkler, linjer og koordinater
   • Trigonometri. Trigonometri er grenen av matematikk som tar for seg egenskapene til sirkler og høyre trekanter. Lær hvordan du bruker trigonometriske identiteter, grafer, funksjoner og inverse trigonometriske funksjoner.
5. Kjøp en grafkalkulator. Analyse er ikke lett å forstå uten å se hva du gjør. Grafkalkulatorer gjør funksjoner visuelle slik at du bedre kan forstå hvilke ligninger du har å gjøre med. Ofte vises også grensene på skjermen, og derivatene og funksjonene beregnes automatisk.
   • Mange smarttelefoner og nettbrett i dag tilbyr billige, men effektive grafiske apper hvis du ikke vil eller ikke kan kjøpe en grafkalkulator.

Del 2 av 3: Forstå derivater

1. Analyse brukes til å studere "endring i et bestemt øyeblikk". Å vite hvorfor noe endres på et nøyaktig tidspunkt er kjernen i analysen. For eksempel gir analyse deg ikke bare hastigheten på en bil, men også hvor mye den hastigheten endres til enhver tid. Dette er en av de enkleste analysene, men veldig viktig. Tenk deg hvor viktig slik informasjon er for å bestemme hastigheten det tar å få et romskip til månen!
   • Å bestemme endring på et bestemt tidspunkt har differensiere. Differensiering er den første av de to hovedgrenene til analysen.
2. Bruk derivater for å forstå hvordan ting endrer seg på et gitt tidspunkt. Et "derivat" er et hyggelig ord for noe som ofte gjør studentene nervøse. Imidlertid er selve konseptet ikke så vanskelig å forstå - det betyr bare "hvor raskt noe endres." Derivatene du vil møte mest i hverdagen har å gjøre med hastighet. Imidlertid kaller du det vanligvis ikke "avledet av hastighet", men bare "akselerasjon."
   • Akselerasjon er et derivat - det forteller deg hvor fort noe akselererer eller bremser, eller hvordan hastigheten endres.
3. Vet at endringshastigheten er lik stigningen mellom to punkter. Dette er en av de viktigste funnene i analysen. Endringshastigheten mellom to punkter er lik skråningen av linjen mellom de to punktene. Bare tenk på en enkel linje, som for eksempel ligningen ${ displaystyle y = 3x.}$Vet at du kan bestemme helningen på buede linjer. Å bestemme hellingen til en rett linje er relativt enkelt: hvor mye endres ${ displaystyle y}$Hvis du vil beregne endringen mer nøyaktig, må du sørge for at punktene er nærmere hverandre. Jo nærmere du velger de to punktene, jo mer nøyaktig blir svaret ditt. Anta at du vil vite hvor mye bilen din akselererer når du trykker på gasspedalen. Du vil ikke måle hastighetsendringen mellom huset ditt og supermarkedet, men hastighetsendringen fra det øyeblikket du traff gasspedalen. Jo nærmere lesingen din kommer det splittede sekundet, jo mer nøyaktig blir beregningen av endringen.
   • For eksempel undersøker forskere hvor raskt noen arter blir utryddet for å redde dem. Imidlertid dør flere dyr om vinteren enn om sommeren, så det er ikke nyttig å studere endringshastigheten gjennom året - det er bedre å bestemme endringshastigheten innen en mindre periode, for eksempel fra 1. juli til 1. august.
4. Bruk uendelig korte linjer for å bestemme "øyeblikkelig endringshastighet", eller finn derivatet. Det er her analysen ofte blir litt forvirrende, men dette er faktisk resultatet av to enkle fakta. Først og fremst vet du at hellingen til en linje er lik hvor raskt linjen endres. For det andre vet du at jo nærmere punktene på linjen er hverandre, jo mer nøyaktig blir lesingen. Men hvordan finner du endringshastigheten på et gitt punkt hvis skråningen er forholdet mellom to punkter? Svaret: Du velger to punkter som er uendelig nær hverandre.
   • Tenk på eksemplet der du fortsetter å dele 1 med 2, og dermed få 1/2, 1/4, 1/8 osv. Så til slutt kommer du nær null, og svaret er "nesten null". Poengene ligger så nær hverandre at de er "nesten like hverandre". Dette er naturen til derivater.
5. Lær hvordan du bestemmer forskjellige derivater. Det er mange forskjellige teknikker for å finne et derivat avhengig av ligningen, men de fleste av dem gir mening hvis du har husket det grunnleggende om derivater ovenfor. Alle derivater er en måte å finne hellingen til en "uendelig" linje. Nå som du vet mer om derivatteori, er mye av arbeidet med å finne svarene.
6. Finn de avledede ligningene for å forutsi endringshastigheten når som helst. Det er nyttig å bruke derivater for å bestemme endringshastigheten til enhver tid, men det fine med analysen er at du kan lage en ny modell for enhver funksjon. Derivatet av ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Hvis du synes det er vanskelig å forstå, kan du prøve å huske eksempler på derivater fra virkeligheten. Det enkleste eksemplet er basert på hastighet, som omfatter mange forskjellige derivater som vi møter hver dag. Ikke glem: et derivat er et mål på hvor raskt noe endres. Tenk på et enkelt eksperiment. Du ruller en marmor på et bord og måler hvor langt den beveger seg og hvor fort hver gang. Tenk deg at den rullende marmoren følger en linje på en graf - du bruker derivater for å måle øyeblikkelige endringer når som helst på den linjen.
   • Hvor raskt beveger marmoren seg? I hvilken hastighet endres posisjonen (eller avledningen) til den bevegelige marmoren? Vi kaller dette derivatet for "hastighet".
   • Rull marmoren langs en skråning og observer hvordan hastigheten endres. Hva er hastigheten på endring, eller avledet, av marmorens hastighet? Dette derivatet er det vi kaller "akselerasjon".
   • Rull marmor langs et bølget spor, for eksempel en berg-og dalbane. I hvilken grad får marmoren fart når den ruller ned, og i hvilken grad bremser marmoren oppoverbakke? Hvor fort går marmoren akkurat når den er halvveis opp den første bakken? Dette er den øyeblikkelige endringshastigheten, eller den deriverte, av den marmoren på det ene bestemte punktet.

Del 3 av 3: Forstå integraler

1. Vet at du kan bruke analyse for å finne komplekse områder og volumer. Med analyse kan du måle komplekse former som ellers er vanskelige å måle. Tenk for eksempel på problemet du vil vite hvor mye vann en lang, uregelmessig formet innsjø inneholder - det er umulig å måle hver liter vann separat eller å bruke en linjal for å måle formen på innsjøen. Med analyse kan du studere hvordan kantene på innsjøen endrer seg, og deretter bruke informasjonen til å finne ut hvor mye vann den inneholder.
   • Lage geometriske modeller og studere volumer integrere. Integrert kalkulator er den andre viktige analysegrenen.
2. Vet at integrering er området under en graf. Integrasjon brukes til å måle rommet under en linje, som lar deg bestemme området med rare eller uregelmessige former. Ta ligningen ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Vet at du må velge et område du vil integrere. Du kan ikke bare integrere en hel funksjon. For eksempel, ${ displaystyle y = x}$Tenk på hvordan du skal beregne arealet til et rektangel. Anta at du har en flat linje over en graf, for eksempel ${ displaystyle y = 4.}$Vet at i integral kalkulator blir mange små rektangler lagt sammen for å finne arealet til et område. Når du forstørrer en kurve enormt, ser det ut til å være en rett linje. Du ser dette hver dag - du kan ikke oppfatte krumningen på jorden fordi du er så nær jordoverflaten. Integrasjon skaper et uendelig antall små rektangler under en kurve som er så liten at de i utgangspunktet er flate, slik at du kan telle dem. Alle disse rektanglene som legges sammen danner arealet av området under en kurve.
   • Anta at du legger opp mange små segmenter under grafen, og det er bredden på hvert segment nesten er null.
3. Lær hvordan du leser og skriver ned integraler riktig. Integraler består av 4 deler. En typisk integral ser slik ut:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Lær mer om å finne integraler. Integrasjon finnes i mange former, og du må lære mange forskjellige formler for å integrere hver funksjon. Imidlertid følger de alle prinsippene som er skissert ovenfor: integrering er summen av et uendelig antall ting.
   • Integrer ved erstatning.
   • Beregn ubestemte integraler.
   • Integrer ved å dele.
4. Vet at integrering er det motsatte av differensiering og omvendt. Dette er en tommelfingerregel for analyser som er så viktig at den har fått sitt eget navn: Principal Theorem of Integral Calculation.Siden integrasjon og differensiering er så nært beslektet, kan en kombinasjon av de to brukes til å bestemme hastigheten på endring, akselerasjon, hastighet, plassering, bevegelse osv., Uavhengig av hvilken informasjon du har.
   • Husk for eksempel at avledningen av hastigheten er akselerasjonen, slik at du kan bruke hastighet for å finne akselerasjonen. Men hvis du bare kjenner til akselerasjonen til noe (for eksempel gjenstander som faller på grunn av tyngdekraften), så kan du integrere for å gjenvinne hastigheten!
5. Vet at med integrasjon kan du også kontrollere volumet på 3D-objekter. Å rotere en flat form er en måte å lage 3D faste stoffer på. Tenk deg en mynt som spinner på bordet - legg merke til hvordan mynten ser ut til å ta form av en kule når den snurrer. Dette konseptet lar deg bestemme volumet i henhold til en prosess som kalles "volum ved rotasjon".
   • Dette lar deg bestemme volumet til et hvilket som helst fast stoff, så lenge du har en funksjon som representerer det. For eksempel kan du opprette en funksjon som sporer bunnen av en innsjø og deretter bruke den til å bestemme volumet på innsjøen, eller hvor mye vann den inneholder.

Tips

• Øvelse gjør mester, så gjør øvingsøvelsene i læreboken din - også de læreren din ikke har gitt - og sjekk svarene dine for å hjelpe deg med å forstå konseptene bedre.
• Hvis du ikke finner en løsning, spør læreren din.