Innhold

• Trinn
• Del 1 av 2: The Basics
• Del 2 av 2: Utvidet matrisetransformasjon for å løse SLAE -er
• Tips

Et ligningssystem er et sett med to eller flere ligninger som har et felles sett med ukjente og derfor en felles løsning. Grafen til systemet med lineære ligninger er to rette linjer, og løsningen på systemet er skjæringspunktet mellom disse rette linjene. For å løse slike systemer med lineære ligninger er det nyttig og praktisk å bruke matriser.

Trinn

Del 1 av 2: The Basics

1. 1 Terminologi. Systemer med lineære ligninger består av forskjellige komponenter. En variabel er angitt med et alfabetisk tegn (vanligvis x eller y) og betyr et tall du ennå ikke vet og trenger å finne. En konstant er et visst tall som ikke endrer verdien.Koeffisienten er tallet foran variabelen, det vil si tallet som variabelen multipliseres med.
   • For eksempel, for en lineær ligning, 2x + 4y = 8, x og y er variabler, 8 er konstant, og tall 2 og 4 er koeffisienter.
2. 2 Skjema for et system med lineære ligninger. Et system med lineære algebraiske ligninger (SLAE) med to variabler kan skrives som følger: ax + av = p, cx + dy = q. Eventuelle konstanter (p, q) kan være null, men hver av ligningene må inneholde minst en variabel (x, y).
3. 3 Matriseuttrykk. Enhver SLAE kan skrives i matriseform, og deretter, ved å bruke matrisens algebraiske egenskaper, løse den. Når du skriver et ligningssystem i matriseform, representerer A matrisens koeffisienter, C representerer konstante matriser, og X angir en ukjent matrise.
   • For eksempel kan ovenstående SLAE skrives om i følgende matriseform: A x X = C.
4. 4 Utvidet matrise. Den utvidede matrisen oppnås ved å overføre matrisen med frie termer (konstanter) til venstre side. Hvis du har to matriser, A og C, vil den utvidede matrisen se slik ut:
   • For eksempel for følgende system av lineære ligninger:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Den utvidede matrisen vil være 2x3 og se slik ut:

Del 2 av 2: Utvidet matrisetransformasjon for å løse SLAE -er

1. 1 Elementær drift. Du kan utføre visse operasjoner på en matrise, og dermed få en matrise som tilsvarer den opprinnelige. Slike operasjoner kalles elementære. For eksempel, for å løse en 2x3 -matrise, må du utføre radoperasjoner for å bringe matrisen til en trekantet form. Slike operasjoner kan være:
   • permutasjon av to linjer.
   • multiplisere en streng med et null -nummer.
   • multiplisere en streng og legge den til en annen.
2. 2 Multiplikasjon av den andre linjen med et null -nummer. Hvis du vil ha null på den andre linjen, kan du multiplisere linjen for å gjøre det mulig.
   • For eksempel, hvis du har en matrise som denne:
     
     
     Du kan beholde den første linjen og bruke den til å få null på den andre linjen. For å gjøre dette må du først multiplisere den andre linjen med 2:
3. 3 Multipliser igjen. For å få null for den første raden, må du kanskje multiplisere igjen ved hjelp av lignende manipulasjoner.
   • I eksemplet ovenfor må du multiplisere den andre linjen med -1:
     
     
     Etter multiplikasjon vil matrisen se slik ut:
4. 4 Legg den første linjen til den andre. Legg til radene for å få et null i stedet for den første kolonnen og den andre raden.
   • I vårt eksempel, legg til begge linjene for å få følgende:
5. 5 Skriv et nytt system med lineære ligninger for en trekantet matrise. Når du har fått den trekantede matrisen, kan du gå tilbake til SLAE. Matrisens første kolonne tilsvarer den ukjente variabelen x, og den andre tilsvarer den ukjente variabelen y. Den tredje kolonnen tilsvarer skjæringspunktet for ligningen.
   • For vårt eksempel vil det nye systemet med lineære ligninger ha formen:
6. 6 Løs ligningen for en av variablene. I den nye SLAE bestemmer du hvilken variabel som er lettest å finne og løser ligningen.
   • I vårt eksempel er det mer praktisk å løse fra slutten, det vil si fra den siste ligningen til den første, flytte fra bunn til topp. Fra den andre ligningen kan vi enkelt finne en løsning for y, siden vi ble kvitt x, så y = 2.
7. 7 Finn den andre ukjente ved substitusjonsmetode. Når du har funnet en av variablene, kan du koble den til den andre ligningen for å finne den andre variabelen.
   • I vårt eksempel er det bare å erstatte y med 2 i den første ligningen for å finne det ukjente x:

Tips

• Matriseelementer blir ofte referert til som skalarer.
• For å løse en 2x3 -matrise må du utføre elementære radoperasjoner. Du kan ikke utføre disse operasjonene på kolonner.