Innhold

• Trinn
• Metode 1 av 3: Hvordan finne den ukjente siden
• Metode 2 av 3: Finne en ukjent vinkel
• Metode 3 av 3: Prøveproblemer
• Tips

Kosinussetningen er mye brukt i trigonometri. Den brukes når du arbeider med uregelmessige trekanter for å finne ukjente størrelser som sider og vinkler. Teoremet ligner på pytagorasetningen og er ganske lett å huske. Kosinussetningen sier det i en hvilken som helst trekant ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Trinn

Metode 1 av 3: Hvordan finne den ukjente siden

1. 1 Skriv ned de kjente verdiene. For å finne den ukjente siden av en trekant, må du kjenne de to andre sidene og vinkelen mellom dem.
   • For eksempel gitt en trekant XYZ. YX -siden er 5 cm, YZ -siden er 9 cm og Y -vinkelen er 89 °. Hva er XZ -siden?
2. 2 Skriv ned cosinus -teoremformelen. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvor ${ displaystyle c}$ - ukjent parti, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus av vinkelen motsatt den ukjente siden, ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - to kjente sider.
3. 3 Koble de kjente verdiene til formelen. Variabler ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ betegne to kjente sider. Variabel ${ displaystyle C}$ er den kjente vinkelen som ligger mellom sidene ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$.
   • I vårt eksempel er XZ -siden ukjent, så i formelen er den betegnet som ${ displaystyle c}$... Siden sidene YX og YZ er kjent, er de betegnet med variablene ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Variabel ${ displaystyle C}$ er vinkelen Y. Så vil formelen skrives som følger: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Finn cosinusen til en kjent vinkel. Gjør det med en kalkulator. Skriv inn en vinkelverdi, og klikk deretter ${ displaystyle COS}$... Hvis du ikke har en vitenskapelig kalkulator, kan du for eksempel finne et online cosinustabell her. Også i Yandex kan du skrive inn "cosinus med X grader" (erstatte vinkelverdien for X), og søkemotoren viser cosinus for vinkelen.
   • For eksempel er cosinus 89 ° ≈ 0,01745. Så: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Multipliser tallene. Multiplisere ${ displaystyle 2ab}$ ved cosinus av en kjent vinkel.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Brett rutene på de kjente sidene. Husk at for å kvadrere et tall, må det multipliseres med seg selv. Først kvadrerer du de tilsvarende tallene, og legger deretter til de resulterende verdiene.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Trekk fra to tall. Du vil finne ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Ta kvadratroten av denne verdien. For å gjøre dette, bruk en kalkulator. Slik finner du den ukjente siden.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Så den ukjente siden er 10,2191 cm.

Metode 2 av 3: Finne en ukjent vinkel

1. 1 Skriv ned de kjente verdiene. For å finne den ukjente vinkelen til en trekant, må du kjenne alle tre sidene av trekanten.
   • For eksempel gitt en trekant RST. Side CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Finn verdien av vinkelen S.
2. 2 Skriv ned cosinus -teoremformelen. Formel: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvor ${ displaystyle cos {C}}$ - cosinus med en ukjent vinkel, ${ displaystyle c}$ - en kjent side overfor et ukjent hjørne, ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - to andre kjente fester.
3. 3 Finn verdiene en{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} og c{ displaystyle c}. Koble dem deretter til formelen.
   • For eksempel er RT -siden motsatt den ukjente vinkelen S, så RT -siden er ${ displaystyle c}$ i formelen. Andre partier vil ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Så formelen vil bli skrevet som følger: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multipliser tallene. Multiplisere ${ displaystyle 2ab}$ ved cosinus for den ukjente vinkelen.
   • For eksempel, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Oppreist c{ displaystyle c} i en firkant. Det vil si at du multipliserer selve tallet.
   • For eksempel, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Brett rutene en{ displaystyle a} og b{ displaystyle b}. Men først, firkant de tilsvarende tallene.
   • For eksempel:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isolere cosinus for den ukjente vinkelen. For å gjøre dette, trekker du beløpet ${ displaystyle a ^ {2}}$ og ${ displaystyle b ^ {2}}$ fra begge sider av ligningen. Del deretter hver side av ligningen med faktoren ved cosinus for den ukjente vinkelen.
   • For eksempel, for å isolere cosinus for en ukjent vinkel, trekker du 164 fra begge sider av ligningen, og deler deretter hver side med -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Beregn den inverse cosinus. Dette vil finne verdien av den ukjente vinkelen. På kalkulatoren er den inverse cosinusfunksjonen angitt ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • For eksempel er arkkosinet på 0,0125 82,8192. Så vinkelen S er 82,8192 °.

Metode 3 av 3: Prøveproblemer

1. 1 Finn den ukjente siden av trekanten. De kjente sidene er 20 cm og 17 cm, og vinkelen mellom dem er 68 °.
   • Siden du får to sider og vinkelen mellom dem, kan du bruke cosinus -setningen. Skriv ned formelen: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den ukjente siden er ${ displaystyle c}$... Koble de kjente verdiene til formelen: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Regne ut ${ displaystyle c ^ {2}}$, observere rekkefølgen på matematiske operasjoner:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Ta kvadratroten på begge sider av ligningen. Slik finner du den ukjente siden:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Så den ukjente siden er 20,8391 cm.
2. 2 Finn vinkelen H i trekant GHI. De to sidene ved siden av hjørnet H er 22 og 16 cm. Siden motsatt hjørnet H er 13 cm.
   • Siden alle tre sidene er gitt, kan cosinus -setningen brukes. Skriv ned formelen: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Siden motsatt av det ukjente hjørnet er ${ displaystyle c}$... Koble de kjente verdiene til formelen: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Forenkle det resulterende uttrykket:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isolere cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Finn den inverse cosinus. Slik beregner du den ukjente vinkelen:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Dermed er vinkelen H 35,7985 °.
3. 3 Finn lengden på løypa. Elve-, kupert- og myrbanene danner en trekant. Lengden på River Trail er 3 km, Hilly Trail er 5 km lang; disse stiene krysser hverandre i en vinkel på 135 °. Sumpstien forbinder de to endene av de andre løypene. Finn lengden på Swamp Trail.
   • Stiene danner en trekant. Du må finne lengden på den ukjente banen, som er siden av trekanten. Siden lengden på de to andre banene og vinkelen mellom dem er angitt, kan cosinus -setningen brukes.
   • Skriv ned formelen: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Den ukjente banen (Swamp) vil bli betegnet som ${ displaystyle c}$... Koble de kjente verdiene til formelen: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Regne ut ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Ta kvadratroten på begge sider av ligningen. Slik finner du lengden på den ukjente banen:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Så, lengden på Swamp Trail er 7.4306 km.

Tips

• Det er lettere å bruke sinussetningen. Finn derfor først ut om det kan brukes på det gitte problemet.