Innhold

• Trinn
• Del 1 av 3: Factoring binomials
• Del 2 av 3: Faktorisering av binomialer for løsning av ligninger
• Del 3 av 3: Løse komplekse problemer
• Tips
• Advarsler

Et binomial (binomial) er et matematisk uttrykk med to termer mellom hvilke det er et pluss- eller minustegn, for eksempel ${ displaystyle ax + b}$... Det første elementet inkluderer variabelen, og det andre inkluderer det eller inkluderer det ikke. Factoring av et binomial innebærer å finne termer som, når de multipliseres, produserer det originale binomialet for å løse eller forenkle det.

Trinn

Del 1 av 3: Factoring binomials

1. 1 Forstå det grunnleggende i factoring -prosessen. Ved faktorisering av et binomial tas faktoren som er en divisor for hvert begrep i det originale binomialet, ut av braketten. For eksempel er tallet 6 helt delelig med 1, 2, 3, 6. Dermed er delerne til tallet 6 tallene 1, 2, 3, 6.
   • Delere 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Delerne til et hvilket som helst tall er 1 og selve tallet. For eksempel er divisorer på 3 1 og 3.
   • Heltalldelere kan bare være heltall. Tallet 32 ​​kan deles med 3.564 eller 21.4952, men du får ikke et heltall, men en desimalbrøk.
2. 2 Bestill vilkårene i binomialet for å lette factoring -prosessen. Et binomial er summen eller forskjellen på to termer, hvorav minst ett inneholder en variabel. Noen ganger blir variabler hevet til en effekt, for eksempel ${ displaystyle x ^ {2}}$ eller ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Det er bedre å bestille vilkårene for binomien i stigende rekkefølge av eksponenter, det vil si at begrepet med den minste eksponenten skrives først, og med den største - den siste. For eksempel:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Legg merke til minustegnet foran 2. Hvis et begrep trekkes fra, skriver du et minustegn foran det.
3. 3 Finn den største fellesdeleren (GCD) av begge begrepene. GCD er det største antallet som begge medlemmene i binomien er delbare med. For å gjøre dette, finn divisorer for hvert begrep i binomien, og velg deretter den største vanlige divisoren. For eksempel:
   • En oppgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Delere 3: 1, 3
     • Delere 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Del hvert ledd i binomien med Greatest Common Divisor (GCD). Gjør dette for å faktorisere GCD. Vær oppmerksom på at hvert medlem av binomien avtar (fordi det er delbart), men hvis GCD er ekskludert fra parentesen, vil det siste uttrykket være lik det opprinnelige.
   • En oppgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Finn GCD: 3
   • Del hver binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Flytt divisoren ut av parentesene. Tidligere delte du begge vilkårene i binomien med divisoren 3 og fikk ${ displaystyle t + 2}$... Men du kan ikke kvitte deg med 3 - for at verdiene til de første og siste uttrykkene skal være like, må du sette 3 utenfor parentesene og skrive uttrykket som er oppnådd som et resultat av inndeling i parentes. For eksempel:
   • En oppgave:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Finn GCD: 3
   • Del hver binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multipliser divisoren med det resulterende uttrykket:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Svar: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Sjekk svaret ditt. For å gjøre dette, multipliserer begrepet før parentesene med hvert begrep inne i parentesene. Hvis du får det originale binomialet, er løsningen riktig. Løs nå problemet ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Bestill medlemmene:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Finn GCD:${ displaystyle 6}$
   • Del hver binomisk term med gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multipliser divisoren med det resulterende uttrykket:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Sjekk svaret:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Del 2 av 3: Faktorisering av binomialer for løsning av ligninger

1. 1 Faktor binomialet for å forenkle det og løse ligningen. Ved første øyekast virker det umulig å løse noen ligninger (spesielt med komplekse binomialer). For eksempel, løse ligningen ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Det er krefter i denne ligningen, så faktor uttrykket først.
   • En oppgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Husk at et binomial har to medlemmer. Hvis uttrykket inneholder flere termer, kan du lære hvordan du løser polynom.
2. 2 Legg til eller trekk fra noen monomial til begge sider av ligningen slik at null forblir på den ene siden av ligningen. Når det gjelder faktorisering, er løsningen på ligninger basert på det uforanderlige faktum at ethvert uttrykk multiplisert med null er lik null. Derfor, hvis vi likestiller ligningen til null, må noen av faktorene være lik null. Sett den ene siden av ligningen til 0.
   • En oppgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sett til null:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktoriser den resulterende beholderen. Gjør dette som beskrevet i forrige avsnitt. Finn den største fellesfaktoren (GCD), del begge termer i binomien med den, og flytt deretter faktoren ut av parentesene.
   • En oppgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sett til null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Sett hver faktor til null. I det resulterende uttrykket multipliseres 2y med 4 - y, og dette produktet er lik null. Siden ethvert uttrykk (eller begrep) multiplisert med null er null, er 2y eller 4 - y 0. Sett den resulterende monomien og binomien til null for å finne "y".
   • En oppgave:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sett til null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Sett begge faktorene til 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Løs de resulterende ligningene for å finne det endelige svaret (eller svarene). Siden hver faktor tilsvarer null, kan ligningen ha flere løsninger. I vårt eksempel:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Sjekk svaret ditt. For å gjøre dette, erstatt de funnet verdiene i den opprinnelige ligningen. Hvis likestillingen er sann, er avgjørelsen riktig. Erstatt de funnet verdiene i stedet for "y". I vårt eksempel er y = 0 og y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Dette er den riktige avgjørelsen
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Og dette er den riktige avgjørelsen

Del 3 av 3: Løse komplekse problemer

1. 1 Husk at et begrep med en variabel også kan faktoriseres, selv om variabelen er hevet til en effekt. Ved factoring må du finne et monomial som deler hvert medlem av binomialet integrert. For eksempel monomialet ${ displaystyle x ^ {4}}$ kan faktoriseres ${ displaystyle x * x * x * x}$... Det vil si at hvis den andre termen i binomialet også inneholder variabelen "x", kan "x" tas ut av parentesene. Behandle derfor variabler som heltall. For eksempel:
   • Begge medlemmer av binomialet ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ inneholder "t", så "t" kan tas ut av parentesen: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • En variabel hevet til en effekt kan også tas ut av braketten. For eksempel begge medlemmene i binomialet ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ inneholde ${ displaystyle x ^ {2}}$, så ${ displaystyle x ^ {2}}$ kan tas ut av braketten: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Legg til eller trekk fra lignende termer for å få et binomial. For eksempel gitt uttrykket ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Ved første øyekast er dette et polynom, men faktisk kan dette uttrykket konverteres til et binomial. Legg til lignende termer: 6 og 14 (inneholder ikke en variabel), og 2x og 3x (inneholder den samme variabelen "x"). I dette tilfellet blir prosessen med factoring forenklet:
   • Opprinnelig uttrykk:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Bestill medlemmene:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Legg til lignende uttrykk:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Finn GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktor forskjellen mellom perfekte firkanter. En perfekt firkant er et tall hvis for eksempel kvadratroten er et heltall ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ Til og med ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Hvis binomien er forskjellen på perfekte firkanter, for eksempel ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, blir det faktorisert av formelen:
   • Forskjellen på kvadraters formel:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • En oppgave:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Trekk ut kvadratrøttene:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Erstatt de funnet verdiene i formelen: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktor forskjellen mellom de komplette terningene. Hvis binomien er forskjellen på komplette terninger, for eksempel ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, så faktoriseres det ved hjelp av en spesiell formel. I dette tilfellet er det nødvendig å trekke ut kuberoten fra hvert medlem av binomien, og erstatte de funnet verdiene i formelen.
   • Formelen for forskjellen mellom terninger:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • En oppgave:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Trekk ut kubikkrøtter:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Erstatt de funnet verdiene i formelen: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktor summen av hele terningene. I motsetning til summen av perfekte firkanter, er summen av komplette terninger, for eksempel ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, kan faktoriseres ved hjelp av en spesiell formel. Det ligner på formelen for forskjellen mellom terninger, men tegnene er omvendt. Formelen er ganske enkel - for å bruke den, finn summen av hele terninger i problemet.
   • Formelen for summen av terninger:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • En oppgave:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Trekk ut kubikkrøtter:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Erstatt de funnet verdiene i formelen: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tips

• Noen ganger har ikke binomiske medlemmer en felles deler. I noen oppgaver presenteres medlemmene i en forenklet form.
• Hvis du ikke finner GCD med en gang, starter du med å dividere med små tall. Hvis du for eksempel ikke ser at GCD med tallene 32 og 16 er 16, deler du begge tallene med 2. Du får 16 og 8; disse tallene kan deles med 8. Nå får du 2 og 1; disse tallene kan ikke reduseres. Dermed er det åpenbart at det er et større tall (sammenlignet med 8 og 2), som er den vanlige deleren av de to gitte tallene.
• Vær oppmerksom på at sjette ordens vilkår (med en eksponent på 6, for eksempel x) er både perfekte firkanter og perfekte terninger. Således, for binomialer med sjette ordens vilkår, for eksempel x - 64, kan man anvende (i hvilken som helst rekkefølge) formlene for differansen av firkanter og forskjellen på kuber. Men det er bedre å først bruke formelen for differansen av firkanter for å dekomponere mer korrekt med et binomial.

Advarsler

• Et binomial, som er summen av perfekte firkanter, kan ikke faktoriseres.