Innhold

• Trinn
• Metode 1 av 4: Monomial i nevneren
• Metode 2 av 4: Binomial i nevneren
• Metode 3 av 4: Omvendt uttrykk
• Metode 4 av 4: Kubisk rotnevner

I matematikk er det ikke vanlig å legge igjen en rot eller et irrasjonelt tall i nevneren til en brøk. Hvis nevneren er en rot, multipliserer brøkdelen med et begrep eller uttrykk for å bli kvitt roten. Moderne kalkulatorer lar deg jobbe med røtter i nevneren, men utdanningsprogrammet krever at elevene kan bli kvitt irrasjonalitet i nevneren.

Trinn

Metode 1 av 4: Monomial i nevneren

1. 1 Lær brøkdelen. Brøken er skrevet riktig hvis det ikke er rot i nevneren. Hvis nevneren har en firkant eller annen rot, må du multiplisere telleren og nevneren med noen monomial for å bli kvitt roten. Vær oppmerksom på at telleren kan inneholde en rot - dette er normalt.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Nevneren her har en rot ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Multipliser teller og nevner med roten til nevneren. Hvis nevneren inneholder et monomial, er det ganske enkelt å rasjonalisere en slik brøk. Multipliser teller og nevner med samme monomial (det vil si at du multipliserer brøkdelen med 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}}$
   • Hvis du skriver inn et uttrykk for en løsning på en kalkulator, må du sette parenteser rundt hver del for å skille dem.
3. 3 Forenkle brøkdelen (hvis mulig). I vårt eksempel kan det forkortes ved å dele teller og nevner med 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metode 2 av 4: Binomial i nevneren

1. 1 Lær brøkdelen. Hvis nevneren inneholder summen eller forskjellen på to monomialer, hvorav det ene inneholder en rot, er det umulig å multiplisere brøkdelen med et slikt binomial for å bli kvitt irrasjonalitet.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • For å forstå dette, skriv ned brøkdelen ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$hvor monomialet ${ displaystyle a}$ eller ${ displaystyle b}$ inneholder roten. I dette tilfellet: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Dermed er monomialet ${ displaystyle 2ab}$ vil fortsatt inkludere roten (hvis ${ displaystyle a}$ eller ${ displaystyle b}$ inneholder roten).
   • La oss se på vårt eksempel.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Du ser at du ikke kan bli kvitt monomialet i nevneren ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Multipliser teller og nevner med binomialkonjugatet til binomialet i nevneren. Et konjugert binomial er et binomial med samme monomial, men med det motsatte tegnet mellom dem. For eksempel binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ konjugert til et binomial ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}}$
   • Forstå betydningen av denne metoden. Vurder brøkdelen igjen ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Multipliser teller og nevner med binomialkonjugatet til binomialet i nevneren: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Dermed er det ingen monomier som inneholder røtter. Siden monomialene ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ er kvadrert, blir røttene eliminert.
3. 3 Forenkle brøkdelen (hvis mulig). Hvis det er en felles faktor i både teller og nevner, må du avbryte den. I vårt tilfelle er 4 - 2 = 2, som kan brukes til å redusere brøkdelen.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metode 3 av 4: Omvendt uttrykk

1. 1 Undersøk problemet. Hvis du trenger å finne et uttrykk som er det inverse av det gitte, som inneholder en rot, må du rasjonalisere den resulterende fraksjonen (og først da forenkle den). I dette tilfellet, bruk metoden beskrevet i den første eller andre seksjonen (avhengig av oppgaven).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Skriv ned det motsatte uttrykket. For å gjøre dette, divider 1 med det gitte uttrykket; bytt teller og nevner hvis den er gitt en brøkdel. Husk at ethvert uttrykk er en brøk med 1 i nevneren.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Multipliser telleren og nevneren med et uttrykk for å bli kvitt roten. Ved å multiplisere teller og nevner med det samme uttrykket, multipliserer du brøkdelen med 1, det vil si at verdien av brøken ikke endres. I vårt eksempel får vi et binomial, så multipliser telleren og nevneren med det konjugerte binomialet.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}}$
4. 4 Forenkle brøkdelen (hvis mulig). I vårt eksempel er 4 - 3 = 1, så uttrykket i nevneren til brøken kan slettes fullstendig.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Svaret er et binomialt konjugat til dette binomialet. Det er bare en tilfeldighet.

Metode 4 av 4: Kubisk rotnevner

1. 1 Lær brøkdelen. Problemet kan inneholde terninger, selv om dette er ganske sjeldent. Den beskrevne metoden gjelder for røtter av hvilken som helst grad.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Skriv om roten som en kraft. Her kan du ikke multiplisere teller og nevner med noen monomial eller uttrykk, fordi rasjonalisering utføres på en litt annen måte.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Multipliser telleren og nevneren til brøkdelen med en viss kraft, slik at eksponenten i nevneren blir 1. I vårt eksempel, multipliser brøkdelen med ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Husk at når gradene multipliseres, summerer indikatorene til dem: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Denne metoden gjelder for alle røtter av grad n. Hvis en brøkdel er gitt ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, multipliser teller og nevner med ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Dermed blir eksponenten i nevneren 1.
4. 4 Forenkle brøkdelen (hvis mulig).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Skriv om nødvendig ned roten i svaret. I vårt eksempel, faktor eksponenten i to faktorer: ${ displaystyle 1/3}$ og ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$