Faktor kvadratiske ligninger

Video: Kvadratiske funksjonar (10. klasse)

Innhold

Å trå
Begynnelsen
Metode 1 av 6: prøving og feiling
Metode 2 av 6: Nedbrytning
Metode 3 av 6: Triple Play
Metode 4 av 6: Forskjellen mellom to firkanter
Metode 5 av 6: ABC-formelen
Metode 6 av 6: Bruke en kalkulator
Tips
Advarsler
Nødvendigheter

Et polynom inneholder en variabel (x) til en viss kraft og flere termer og / eller konstanter. For å faktorisere et polynom, må du bryte uttrykket i mindre uttrykk som multipliseres sammen. Dette krever et visst nivå av matematikk og kan derfor være vanskelig å forstå hvis du ikke er helt så langt ennå.

Å trå

Begynnelsen

Ligningen. Standardformatet for en kvadratisk ligning er:

ax + bx + c = 0
Begynn med å ordne vilkårene i ligningen din fra høyeste til laveste kraft. Ta for eksempel:

6 + 6x + 13x = 0
Vi kommer til å omorganisere dette uttrykket slik at det blir lettere å jobbe med - bare ved å flytte vilkårene:

6x + 13x + 6 = 0
Finn faktorene ved hjelp av en av metodene nedenfor. Å faktorisere polynomet vil resultere i to mindre uttrykk som kan multipliseres sammen for å få det opprinnelige polynomet:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer fra det opprinnelige uttrykket, 6x + 13x + 6.
Sjekk arbeidet ditt! Multipliser faktorene du fant. Kombiner de samme vilkårene, og du er ferdig. Starte med:

(2x + 3) (3x + 2)
La oss teste dette ved å multiplisere vilkårene ved hjelp av EBBL (første - ytre - indre - siste), som gir oss:

6x + 4x + 9x + 6
Nå legger vi 4x og 9x sammen fordi de er like vilkår. Vi vet at faktorene er riktige fordi vi får tilbake ligningen vi startet med:

6x + 13x + 6

Metode 1 av 6: prøving og feiling

Hvis du har et ganske enkelt polynom, kan du kanskje se hva faktorene er med en gang. For eksempel, etter litt øvelse, er mange matematikere i stand til å se uttrykket 4x + 4x + 1 har faktorene (2x + 1) og (2x + 1) bare fordi de har sett dette så mange ganger. (Åpenbart vil dette ikke være så enkelt med mer kompliserte polynomer.) La oss ta et mindre standarduttrykk for dette eksemplet:

3x + 2x - 8

Skriv ned faktorene til en sikt og c begrep. Bruk formatet ax + bx + c = 0, gjenkjenne en og c vilkår og legg merke til hvilke faktorer det er. For 3x + 2x - 8 betyr dette:

a = 3 og har ett par faktorer: 1 * 3
c = -8 og dette har 4 par faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.
Skriv ned to par parenteser med et tomt mellomrom. Her angir du konstantene for hvert uttrykk:

(x) (x)
Fyll mellomrommet før xene med et antall mulige faktorer for en verdi. For en sikt i vårt eksempel, 3x, er det bare 1 mulighet:

(3x) (1x)
Fyll ut de to mellomrommene etter x-ene med noen få faktorer for konstantene. Anta at vi velger 8 og 1. Skriv inn dette:

(3x8) (X1)
Bestem hvilke tegn (pluss eller minus) som skal være mellom x-variablene og tallene. Avhengig av tegnene i det opprinnelige uttrykket, er det mulig å finne ut hva karakterene til konstantene skal være. La oss ta de to konstantene av de to faktorene h og k å nevne:

Hvis ax + bx + c så (x + h) (x + k)
Hvis ax - bx - c eller ax + bx - c så (x - h) (x + k)
Hvis ax - bx + c så (x - h) (x - k)
I vårt eksempel, 3x + 2x - 8, er tegnet: (x - h) (x + k), som gir oss følgende to faktorer:

(3x + 8) og (x - 1)
Test ditt valg med den første-ytre-indre-siste multiplikasjonen. En rask første test for å se om mellomperioden i det minste er riktig verdi. Hvis ikke, har du sannsynligvis feil c valgte faktorer. La oss teste svaret:

(3x + 8) (x - 1)
Ved multiplikasjon får vi:

3x - 3x + 8x - 8
Forenkle dette uttrykket ved å legge til lignende termer (-3x) og (8x), og vi får:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi vet nå at vi tok feil faktorer:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Bytt valg om nødvendig. I vårt eksempel, la oss prøve 2 og 4, i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)
Nå vår c sikt lik -8, men det ytre / indre produktet av (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, noe som ikke er riktig b sikt eller + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Omvend bestillingen om nødvendig. La oss prøve å snu 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)
Nå vår c sikt (4 * 2 = 8) og fortsatt greit, men de ytre / indre produktene er -6x og 4x. Når vi kombinerer disse får vi:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Vi kommer nå ganske nær 2x der vi vil være, men tegnet er ikke riktig ennå.
Dobbeltsjekk tegnene dine om nødvendig. Vi holder denne bestillingen, men bytter den med minustegnet:

(3x - 4) (x + 2)
Nå er det c sikt fortsatt greit, og de ytre / indre produktene er nå (6x) og (-4x). Fordi:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Vi ser nå den positive 2x tilbake fra det opprinnelige problemet. Dette må være de riktige faktorene.

Metode 2 av 6: Nedbrytning

Denne metoden gir alle mulige faktorer av den en og c vilkår og bruker dem for å finne ut hvilke faktorer som er riktige. Hvis tallene er veldig store, eller gjetningen av andre metoder kommer til å ta for lang tid, bruk denne måten. Et eksempel:

6x + 13x + 6

Multipliser en sikt med c begrep. I dette eksemplet, en er 6 og c er også 6.

6 * 6 = 36
Finn b sikt ved faktorisering og testing. Vi ser etter to tall som er faktorer av en * c , og sammen den b sikt (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Erstatt de to tallene du får i ligningen som summen av b begrep. La oss k og h for å representere de 2 tallene vi har, 4 og 9:

øks + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktorer polynomet ved å gruppere. Organiser ligningen slik at du kan skille den største fellesdeleren av de to første begrepene og de to siste begrepene. Begge faktorene skal være de samme. Legg GGD-ene sammen og plasser dem i parentes, ved siden av faktorene; som et resultat får du de to faktorene:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 av 6: Triple Play

I likhet med dekomponeringsmetoden. Metoden "triple play" undersøker mulige faktorer for produktet av en og c og bruk den til å finne ut hva b må være. Ta ligningen som et eksempel:

8x + 10x + 2

Multipliser en sikt med c begrep. Som med dekomponeringsmetoden, bruker vi denne for å bestemme kandidatene til b begrep. I dette eksemplet: en er 8 og c er 2.

8 * 2 = 16
Finn de 2 tallene med dette tallet som produktet og med en sum som er lik b begrep. Dette trinnet er det samme som nedbrytningsmetoden - vi tester kandidater for konstantene. Produktet av en og c vilkår er 16, og c sikt er 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Ta disse to tallene og erstatt dem i "triple play" -formelen. Ta de to tallene fra forrige trinn - la oss få dem h og k ring dem - og legg dem i uttrykket:

((ax + h) (ax + k)) / a

Med dette får vi:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Se hvilken av de to begrepene i nevneren som kan deles fullt ut med en. I dette eksemplet ser vi på om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så vi deler dette begrepet med en og vi lar den andre upåvirket.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Begrepet vi har holdt her er det som gjenstår etter deling med en begrep: (x + 1)
Ta den største felles divisoren (gcd) fra begge eller begge begrepene, hvis mulig. I dette eksemplet ser vi at den andre termen har gcd på 2, fordi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette svaret med begrepet du oppdaget i forrige trinn. Dette er faktorene i sammenligningen din.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 av 6: Forskjellen mellom to firkanter

Du kan gjenkjenne noen koeffisienter i et polynom som "firkanter", eller også som produktet av 2 identiske tall. Ved å finne ut hvilke firkanter som er, kan du kanskje faktorere polynomene mye raskere. Vi tar ligningen:

27x - 12 = 0

Fjern gcd fra ligningen, hvis mulig. I dette tilfellet ser vi at 27 og 12 begge er delbare med 3, så vi kan plassere dem hver for seg:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Bestem om koeffisientene til ligningen din er firkanter. For å bruke denne metoden er det nødvendig å bestemme roten til vilkårene. (Merk at vi har utelatt minustegnene - siden disse tallene er firkanter, kan de være et produkt av to negative tall)

9x = 3x * 3x og 4 = 2 * 2
Ved å bruke kvadratroten du har bestemt, kan du nå skrive ut faktorene. Vi tar en og c verdier fra forrige trinn: en = 9 og c = 4, så røttene til dette er: - √en = 3 og √c = 2. Dette er koeffisientene til de faktoriserte uttrykkene:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 av 6: ABC-formelen

Hvis ingenting ser ut til å fungere, og du ikke kan løse ligningen, bruk abc-formelen. Ta følgende eksempel:

x + 4x + 1 = 0

Skriv inn de tilsvarende verdiene i abc-formelen:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får nå uttrykket:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Løs i x. Du bør nå få to verdier for x. Disse er:

x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3)
Bruk verdiene til x for å bestemme faktorene. Skriv inn x-verdiene oppnådd i de to ligningene som konstanter. Dette er faktorene dine. Hvis vi svarer på de to h og k vi skriver ned de to faktorene som følger:

(x - h) (x - k)
I dette tilfellet er det endelige svaret:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metode 6 av 6: Bruke en kalkulator

Hvis det er tillatt (eller obligatorisk) å bruke en grafkalkulator, blir dette fakturering mye enklere, spesielt for eksamener og eksamener. Følgende instruksjoner er for en TI-grafkalkulator. Vi bruker ligningen fra eksemplet:

y = x - x - 2

Skriv inn ligningen i kalkulatoren. Du bruker ligningsløseren, også kjent som [Y =] -skjermen.
Graf ligningen med kalkulatoren. Når du har kommet inn i ligningen, trykker du på [GRAPH] - du skal nå se en buet linje, en parabel som en grafisk fremstilling av ligningen din (og det er en parabel fordi vi har å gjøre med et polynom).
Finn hvor parabolen krysser med x-aksen. Siden en kvadratisk ligning tradisjonelt er skrevet som ax + bx + c = 0, er dette de to x-verdiene som gjør ligningen lik null:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Hvis du ikke kan se hvor parabolen krysser x-aksen, trykker du på [2.] og deretter på [TRACE]. Trykk på [2] eller velg "null". Flytt markøren til venstre for et kryss og trykk på [ENTER]. Flytt markøren til høyre for et kryss og trykk på [ENTER]. Flytt markøren så nær skjæringspunktet som mulig, og trykk på [ENTER]. Kalkulatoren vil indikere x-verdien. Gjør dette også for det andre krysset.
Skriv inn x-verdiene du fikk i de to fakturerte uttrykkene. Hvis vi tar de to x-verdiene h og k som et begrep ser uttrykket vi bruker slik ut:

(x - h) (x - k) = 0
Så våre to faktorer blir da:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

Hvis du har faktorisert polynomet med abc-formelen, og svaret ditt inneholder røtter, kan du konvertere x-verdiene til brøker for å sjekke dem.
Hvis et begrep ikke har noen koeffisient før det, er koeffisienten lik 1, f.eks. X = 1x.
Hvis du har en TI-84-kalkulator, er det et program som heter SOLVER som kan løse en kvadratisk ligning for deg. Det løser også polynomer av høyere grad.
Etter mye øvelse vil du til slutt kunne løse polynomer utenat. Men for å være på den sikre siden er det bedre å alltid skrive dem ut.
Hvis et begrep ikke eksisterer, er koeffisienten null. Da kan det være nyttig å omskrive ligningen. F.eks. x + 6 = x + 0x + 6.

Advarsler

Hvis du lærer dette konseptet i matematikk, må du være oppmerksom på hva læreren forklarer og ikke bare bruke din egen favorittmetode. Du kan bli bedt om å bruke en bestemt metode for en test, ellers er det ikke tillatt med kalkulatorer.