Innhold

• Å trå
• Metode 1 av 2: Rototrekking med hovedfaktorer
• Metode 2 av 2: Finne kvadratrøtter uten kalkulator
• Med lang divisjon
• Forstå prosedyren
• Tips
• Advarsler

Før kalkulatorene kom, måtte både studenter og professorer beregne kvadratrøtter med penn og papir. Ulike teknikker ble utviklet den gangen for å takle denne til tider vanskelige jobben, hvorav noen gir et grovt estimat og andre beregner den nøyaktige verdien. Les videre for å lære hvordan du finner kvadratroten til et tall i noen få enkle trinn.

Å trå

Metode 1 av 2: Rototrekking med hovedfaktorer

1. Del tallet ditt i kraftfaktorer. Denne metoden bruker faktorene til et tall for å finne kvadratroten til et tall (avhengig av tallet kan det være et eksakt svar eller et estimat). De faktorer av et gitt tall er en hvilken som helst sekvens av tall som multipliseres sammen for å danne det bestemte tallet. For eksempel kan du si at faktorene 8 er lik 2 og 4 fordi 2 × 4 = 8. Perfekte kvadrater er derimot heltall som er produktet av andre heltall. For eksempel er 25, 36 og 49 perfekte firkanter fordi de er lik henholdsvis 5, 6 og 7. Andre kraftfaktorer, som du vil ha forstått, er faktorer som også er perfekte firkanter. For å finne en kvadratrot ved hjelp av primfaktorer, prøv først å dele tallet i dets andre kraftfaktorer.
   • Ta følgende eksempel. Vi skal finne kvadratroten på 400. Til å begynne med deler vi tallet i kraftfaktorer. Siden 400 er et multiplum av 100, vet vi at det er jevnt delelig med 25 - et perfekt kvadrat. Rask rote forteller oss at 400/25 = 16.16 tilfeldigvis også er et perfekt kvadrat. Så kubefaktorene på 400 er 25 og 16 fordi 25 × 16 = 400.
   • Vi skriver dette som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Ta kvadratrøttene til de andre kraftfaktorene dine. Produktregelen for kvadratrøtter sier at for et gitt tall en og b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grunn av denne egenskapen kan vi nå ta kvadratrøttene til kvadratfaktorene og multiplisere dem sammen for å få svaret.
   • I vårt eksempel tar vi kvadratrøttene til 25 og 16. Se nedenfor:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Hvis nummeret ditt ikke kan faktureres perfekt, kan du forenkle det. I virkeligheten vil ikke tallene du vil bestemme kvadratrøttene til, være fine avrundede tall med fine kvadrater som 400. I disse tilfellene er det kanskje ikke mulig å få et helt tall som svaret. I stedet, ved å bruke alle kraftfaktorene du kan finne, kan du bestemme svaret som en mindre, lettere å bruke kvadratrot. Du gjør dette ved å redusere antallet til en kombinasjon av kraftfaktorer og andre faktorer, og deretter forenkle det.
   • Vi tar kvadratroten av 147 som et eksempel. 147 er ikke et produkt av to perfekte firkanter, så vi kan ikke få en fin heltallverdi. Men det er et produkt av en perfekt firkant og et annet tall - 49 og 3. Vi kan bruke denne informasjonen til å skrive svaret vårt på de enkleste vilkårene:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Kvadrat (49) × Kvadrat (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Forenkle, om nødvendig. Ved å bruke kvadratroten i de enkleste ordene er det vanligvis ganske enkelt å få et grovt estimat av svaret ved å estimere de gjenværende kvadratrøttene og multiplisere dem. En måte å forbedre gjetningene dine på er å finne de perfekte rutene på hver side av tallet i kvadratroten. Du vet at desimalverdien til tallet i kvadratroten din ligger et sted mellom disse to tallene, så gjetningen din må også være mellom disse tallene.
   • La oss gå tilbake til vårt eksempel. Siden 2 = 4 og 1 = 1, vet vi at Sqrt (3) er mellom 1 og 2 - sannsynligvis nærmere 2 enn 1. Vi anslår at 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Hvis vi sjekker dette med kalkulatoren, ser vi at vi er ganske nær svaret: 12,13.
     • Dette fungerer også for de større tallene. For eksempel er sqrt (35) omtrent mellom 5 og 6 (sannsynligvis nærmere 6). 5 = 25 og 6 = 36,35 er mellom 25 og 36, så kvadratroten vil være mellom 5 og 6. Siden 35 er like under 36, kan vi med viss tillit si at kvadratroten av den bare er mindre enn 6. Å sjekke med en kalkulator gir oss et svar på ca 5,92 - vi hadde rett.
5. Alternativt, som et første trinn, kan du forenkle tallet til minste felles multiplum. Det er ikke nødvendig å søke etter kraftfaktorer hvis du enkelt kan finne primfaktorer for et tall (faktorer som også er primtall samtidig). Skriv tallet i form av minst vanlige multipler. Søk deretter mellom faktorene dine for å matche par primtall. Når du finner to hovedfaktorer som samsvarer, fjern dem fra kvadratroten og plasser en av disse tallene utenfor kvadratrottegnet.
   • For eksempel bestemmer vi kvadratroten på 45 ved hjelp av denne metoden. Vi vet at 45 = 9 × 5 og at 9 = 3 × 3. Så vi kan skrive kvadratroten slik: Sqrt (3 × 3 × 5). Bare slett 3-tallet og plasser en 3 utenfor kvadratroten for å få en forenklet kvadratrot: (3) Kvadrat (5). Nå kan du enkelt gjøre et estimat.
   • Et siste eksempel; vi bestemmer kvadratroten på 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Vi har flere 2-er i kvadratroten. Siden 2 er prime, kan vi fjerne et par og plassere en 2 utenfor roten.
     • = Vår kvadratrot er i enkle termer (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Kvadrat (2) Kvadrat (11). Nå kan vi nærme oss Sqrt (2) og Sqrt (11) og finne et omtrentlig svar, hvis vi ville.

Metode 2 av 2: Finne kvadratrøtter uten kalkulator

Med lang divisjon

1. Del sifrene i nummeret ditt i par. Denne metoden ligner på lang divisjon, som lar deg dele nøyaktig kvadratrot av et tall siffer for siffer. Selv om det ikke er viktig, kan det å gjøre det lettere å bryte et tall i brukbare deler, spesielt hvis det er langt. Tegn først en vertikal linje som deler arbeidsområdet i 2 områder, deretter en kortere linje nær toppen av høyre område, og del den i en mindre toppdel og en større del nedenfor. Del deretter tallet i par med tall, fra og med desimaltegnet. Under denne regelen blir 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Skriv dette tallet øverst til venstre.
   • Som et eksempel, la oss beregne kvadratroten på 780.14. Del arbeidsområdet ditt som ovenfor og skriv "7 80, 14" øverst til venstre. Det er greit hvis det bare er ett nummer helt til venstre, i stedet for to. Deretter skriver du svaret (kvadratroten på 780.14) øverst i høyre område.
2. Finn det største heltallet n hvis kvadrat er mindre enn eller lik sifferet eller tallet til venstre. Finn det største kvadratet som er mindre enn eller lik dette tallet, og finn deretter kvadratroten til dette kvadratet. Dette tallet er n. Skriv det øverst til høyre og skriv kvadratet til n i det nederste kvadranten i området.
   • I vårt eksempel er tallet lengst til venstre tallet 7. Siden vi vet at 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, kan vi si at n = 2 fordi dette er det største heltallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik 7. Skriv 2 i øverste høyre kvadrant. Dette er det første sifferet i svaret. Skriv 4 (kvadratet på 2) i nedre høyre kvadrant. Dette tallet er viktig for neste trinn.
3. Trekk tallet du beregnet av sifferet eller tallet lengst til venstre. Som med lang divisjon, er neste trinn å trekke firkanten fra tallet vi nettopp brukte til beregningen. Skriv dette tallet under nummeret til venstre, og trekk dem. Skriv svaret nedenfor.
   • I vårt eksempel skriver vi en 4 under 7 og trekker den fra. Dette gir 3 som svar.
4. Flytt neste tall ned. Plasser dette ved siden av verdien du fant i forrige redigering. Multipliser tallet øverst til høyre med to og skriv det ned nederst til høyre. La det være plass ved siden av nummeret du nettopp skrev ned for summen du vil gjøre i neste trinn. Skriv her "_ × _ =" ".
   • I vårt eksempel er neste tall "80". Skriv "80" ved siden av de 3 i venstre kvadrant. Multipliser deretter tallet øverst til høyre med 2. Dette tallet er 2, så 2 × 2 = 4. Skriv ned "" 4 "" nederst til høyre, etterfulgt av _×_=.
5. Skriv inn tallene til høyre. Skriv inn det største heltallet som vil gjøre resultatet av multiplikasjonssummen til høyre mindre enn eller lik det nåværende tallet til venstre.
   • I vårt eksempel skriver vi inn 8, og dette gir 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dette er større enn 380. Så 8 er for stor, men 7 er sannsynligvis ikke. Fyll ut 7 og løs: 4 (7) × 7 = 329. 7 er bra fordi 329 er mindre enn 380. Skriv 7 øverst til høyre. Dette er det andre sifferet i kvadratroten på 780.14.
6. Trekk tallet du nettopp har beregnet fra gjeldende nummer til venstre. Så du trekker resultatet av multiplikasjonen til høyre fra det nåværende svaret til venstre. Skriv svaret direkte under det.
   • I vårt eksempel trekker vi 329 fra 380, og dette gir 51 som resultat.
7. Gjenta trinn 4. Flytt neste par tall ned fra 780,14. Når du kommer til et komma, skriv det kommaet i svaret til høyre. Multipliser deretter det øverste høyre tallet med 2 og skriv svaret ved siden av ("_ × _") som ovenfor.
   • I vårt svar skriver vi nå komma fordi vi også møter dette i 780.14. Flytt neste par (14) nedover til venstre kvadrant. 27 x 2 = 54, så vi skriver "54 _ × _ =" i nedre høyre kvadrant.
8. Gjenta trinn 5 og 6. Finn det største tallet som gir et svar som er mindre enn eller lik det gjeldende tallet til venstre. Løse.
   • I vårt eksempel er 549 × 9 = 4941, som er mindre enn eller lik tallet til venstre (5114). 549 × 10 = 5490, som er for høyt, så 9 er vårt svar. Skriv 9 som neste øverste høyre tall og trekk resultatet av multiplikasjonen fra venstre nummer: 5114 -4941 = 173.
9. For å gjøre resultatet nøyaktig, gjenta den forrige prosedyren til du finner svaret med antall desimaler (hundredeler, tusendeler) du trenger.

Forstå prosedyren

1. Vurder tallet som kvadratroten du vil beregne, som området S på et kvadrat. Siden arealet til et kvadrat er L, hvor L er lengden på en av sidene, så ved å finne kvadratroten til nummeret ditt, prøver du å beregne lengden L på siden av det kvadratet.
2. Gi hvert siffer i svaret ditt en bokstav. Skriv inn variabelen A som det første sifferet i L (kvadratroten vi prøver å beregne). B er det andre sifferet, C det tredje og så videre.
3. Gi et brev til hvert "tallpar" av nummeret du begynner med. Gi variabelen S_en til det første paret i S (den opprinnelige verdien), S._b til det andre paret med sifre osv.
4. Forstå forholdet mellom denne metoden og lang divisjon. Denne metoden for å finne en kvadratrot er i hovedsak en lang inndeling, hvor du deler den opprinnelige verdien med kvadratroten og "gir" kvadratroten som svar. Som med lang divisjon, hvor du bare er interessert i neste siffer om gangen, er du bare interessert i de neste to sifrene om gangen (som tilsvarer neste siffer i kvadratroten).
5. Finn det største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik S._en er. Det første sifferet A i vårt svar er da det største heltallet hvis kvadrat ikke er større enn S._en (A slik at A² ≤ Sa (A + 1) ²). I vårt eksempel, S_en = 7, og 2² ≤ 7 3², så A = 2.
   • Vær oppmerksom på at hvis du deler 88962 med 7 ved hjelp av lang divisjon, er det første trinnet likt: du håndterer først det første sifferet på 88962 (8), og du vil ha det største tallet multiplisert med 7 som er mindre enn eller lik 8. I hovedsak fastslå d slik at 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). I dette tilfellet er d lik 1.
6. Visualiser firkanten du vil finne området av. Svaret ditt, kvadratroten til den opprinnelige verdien, er L, som beskriver lengden på en firkant med område S (den opprinnelige verdien). Verdiene for A, B og C representerer sifrene i verdien L. En annen måte å si dette på er at for et 2-sifret svar, 10A + B = L, og for et 3-sifret svar, 100A + 10B + C = L, og så videre.
   • I vårt eksempel (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Husk at 10A + B representerer vårt svar L sammen med B i enhetens posisjon, og A i tiers posisjon. For eksempel, hvis A = 1 og B = 2, så er 10A + B tallet 12. (10A + B) ² er området på hele torget, mens 100A² er området til det største indre torget, B² er området til det minste torget og 10A × B er arealet til hver av de gjenværende rektanglene. Gjennom denne lange, kompliserte prosedyren kan vi finne arealet til hele torget ved å legge til områdene av rutene og rektanglene som er en del av det.
7. Trekk A² fra S._en. Ta med et par tall (S._b) ned fra tallet S. S._en S._b er nesten det totale arealet av torget, hvorfra du nettopp har trukket området fra det største indre torget. Resten er for eksempel tallet N1, som vi fikk i trinn 4 (N1 = 380 i vårt eksempel). N1 er lik 2 × 10A × B + B² (arealet til de to rektanglene pluss arealet til den lille firkanten).
8. Se på N1 = 2 × 10A × B + B², også skrevet som N1 = (2 × 10A + B) × B. I vårt eksempel kjenner du allerede N1 (380) og A (2), så nå må du finne B. B er sannsynligvis ikke et helt tall, så du må faktisk finn det største heltallet B, slik at (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Så nå har du: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Løs ligningen. For å løse denne ligningen, multipliser A med 2, flytt den til ti (multipliser med 10), sett B i enhetene, og multipliser resultatet med B. Med andre ord, (2 × 10A + B) × B. Dette er nøyaktig hva du gjør når du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i nedre høyre kvadrant i trinn 4. I trinn 5 bestemmer du det største heltallet B som passer under linjen, så (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Trekk området (2 × 10A + B) × B fra det totale arealet. Dette gir området S- (10A + B) ² som du ennå ikke har tatt i betraktning (og som du bruker til å beregne følgende tall på samme måte).
11. For å beregne neste siffer C, gjenta prosedyren. Flytt neste par tall fra S ned (S_c) for å få N2 til venstre, og se etter den største C slik at du nå har: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (lik to ganger det tosifrede tallet "AB" fulgte av "_ × _ =" Bestem nå det største tallet du kan skrive inn her, som vil gi deg et svar som er mindre enn eller lik N2.

Tips

• Hvis du flytter kommaet to steder (en faktor 100), flyttes kommaet i den tilsvarende kvadratroten ett sted (en faktor 10).
• I eksemplet kan 1,73 betraktes som "resten": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Denne metoden fungerer for et hvilket som helst tallsystem, ikke bare for desimal (desimal).
• Plasser gjerne beregningene der du vil. Noen skriver det over tallet de vil beregne kvadratroten av.
• En alternativ metode er følgende: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). For eksempel, for å beregne kvadratroten på 780.14, ta heltallet der kvadraten er nærmest 780.14 (28), så = 780.14, x = 28, og y = -3.86. Utfylling og estimering gir oss x + y / (2x) og dette gir (forenklede termer) 78207/2800 eller omtrent 27.931 (1); det følgende begrepet, 4374188/156607 eller omtrent 27.930986 (5). Hvert begrep legger til omtrent 3 desimaler med presisjon til det forrige.

Advarsler

• Sørg for å dele tallet i par fra desimaltegnet. Deler 79520789182.47897 som "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "gir et feil resultat.