Innhold

• Trinn
• Tips

Grafen til en kvadratisk ligning med formen ax + bx + c eller a (x - h) + k er en parabel (U -formet kurve). For å plotte en slik ligning, må du finne toppunktet til parabolen, dens retning og skjæringspunkter med X- og Y -aksene. Hvis du får en relativt enkel kvadratisk ligning, kan du erstatte forskjellige verdier av "x "inn i den, finn de tilsvarende verdiene til" y "og bygg en graf ...

Trinn

1. 1 Den kvadratiske ligningen kan skrives i en standardform og i en ikke-standardform. Du kan bruke en hvilken som helst form for ligning for å plotte en kvadratisk ligning (plottingsmetoden er litt annerledes). Som regel, i problemer, er kvadratiske ligninger gitt i en standardform, men denne artikkelen vil fortelle deg om begge typer skriving av en kvadratisk ligning.
   • Standardform: f (x) = ax + bx + c, der a, b, c er reelle tall og a ≠ 0.
     • For eksempel to ligninger av standardformen: f (x) = x + 2x + 1 og f (x) = 9x + 10x -8.
   • Ikke -standardform: f (x) = a (x - h) + k, hvor a, h, k er reelle tall og a ≠ 0.
     • For eksempel to ligninger av en ikke -standardform: f (x) = 9 (x - 4) + 18 og -3 (x - 5) + 1.
   • For å plotte en kvadratisk ligning av noe slag, må du først finne toppunktet til parabolen, som har koordinater (h, k). Koordinatene til toppunktet til parabolen i standardformens ligninger beregnes av formlene: h = -b / 2a og k = f (h); koordinatene til toppunktet til parabolen i ligninger av en ikke-standardform kan hentes direkte fra ligningene.
2. 2 For å plotte grafen må du finne de numeriske verdiene til koeffisientene a, b, c (eller a, h, k). I de fleste problemer er kvadratiske ligninger gitt med numeriske verdier av koeffisientene.
   • For eksempel, i standardligningen f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • For eksempel, i en ikke -standardligning f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Beregn h i standardligningen (i ikke-standarden er den allerede gitt) ved å bruke formelen: h = -b / 2a.
   • I vårt eksempel på standardligning er f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • I vårt eksempel på en ikke -standardligning er f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Beregn k i standardligningen (i ikke-standarden er den allerede gitt). Husk at k = f (h), det vil si at du kan finne k ved å erstatte funnet verdi av h i stedet for "x" i den opprinnelige ligningen.
   • Du fant ut at h = -4 (for standardligningen). For å beregne k, erstatt denne verdien med "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • I en ikke-standard ligning, k = 12.
5. 5 Tegn et toppunkt med koordinater (h, k) på koordinatplanet. h er tegnet langs X-aksen og k er tegnet langs Y-aksen. Toppen av en parabel er enten det laveste punktet (hvis parabolen peker opp) eller det høyeste punktet (hvis parabolen peker nedover).
   • I vårt eksempel på standardligning har toppunktet koordinater (-4, 7). Tegn dette punktet på koordinatplanet.
   • I vårt eksempel på en tilpasset ligning har toppunktet koordinater (5, 12). Tegn dette punktet på koordinatplanet.
6. 6 Tegn parabelens symmetriakse (valgfritt). Symmetriaksen passerer gjennom toppen av parabolen parallelt med Y -aksen (det vil si strengt vertikalt). Symmetriaksen deler parabolen i to (det vil si at parabolen er speil-symmetrisk om denne aksen).
   • I vårt eksempel standardligning er symmetriaksen en rett linje parallell med Y-aksen og går gjennom punktet (-4, 7). Selv om denne linjen ikke er en del av selve parabolen, gir den en ide om parabolens symmetri.
7. 7 Bestem retningen på parabolen - opp eller ned. Dette er veldig enkelt å gjøre.Hvis koeffisienten "a" er positiv, rettes parabolen oppover, og hvis koeffisienten "a" er negativ, blir parabolen rettet nedover.
   • I vårt eksempel på standardligningen, f (x) = 2x + 16x + 39, peker parabolen opp, siden a = 2 (positiv koeffisient).
   • I vårt eksempel på en ikke -standardligning f (x) = 4 (x - 5) + 12, er parabolen også rettet oppover, siden a = 4 (positiv koeffisient).
8. 8 Om nødvendig kan du finne og plotte x-avskjæringen. Disse punktene vil hjelpe deg mye når du tegner en parabel. Det kan være to, en eller ingen (hvis parabolen er rettet oppover og toppunktet ligger over X-aksen, eller hvis parabolen er rettet nedover og toppunktet ligger under X-aksen). Gjør følgende for å beregne koordinatene til skjæringspunktene med X-aksen:
   • Sett ligningen til null: f (x) = 0 og løs den. Denne metoden fungerer med enkle kvadratiske ligninger (spesielt ikke-standardiserte), men kan være ekstremt vanskelig for komplekse ligninger. I vårt eksempel:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Skjæringspunktene mellom parabolen og X-aksen har koordinater (11,0) og (13,0).
   • Faktor kvadratisk ligning i standardform: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), hvor dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Sett deretter hver binomial til 0 og finn verdiene for "x". For eksempel:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • I dette tilfellet er det et enkelt skjæringspunkt mellom parabolen med x-aksen med koordinater (-1,0), fordi ved x + 1 = 0 x = -1.
   • Hvis du ikke kan faktorere ligningen, løser du den ved hjelp av den kvadratiske formelen: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • For eksempel: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14,18) /- 10
     • x = (13,18 / -10) og (-15,18 / -10). Skjæringspunktene mellom parabolen og X-aksen har koordinater (-1 318,0) og (1 518,0).
     • I vårt eksempel er ligningene i standardformen 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • Siden det er umulig å trekke ut kvadratroten til et negativt tall, skjærer parabolen i dette tilfellet ikke X-aksen.
9. 9 Finn og plott y-avskjæringen etter behov. Det er veldig enkelt - plugg x = 0 inn i den opprinnelige ligningen og finn verdien for "y". Y-skjæringspunktet er alltid det samme. Merk: I likningene til standardskjemaet har skjæringspunktet koordinater (0, s).
   • For eksempel krysser parabolen i den kvadratiske ligningen 2x + 16x + 39 med Y-aksen på punktet med koordinater (0, 39), siden c = 39. Men dette kan beregnes:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, det vil si parabolen til denne kvadratiske ligningen skjærer Y-aksen på punktet med koordinater (0, 39).
   • I vårt eksempel på en ikke-standardligning 4 (x-5) + 12, beregnes y-skjæringspunktet som følger:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, det vil si parabolen til denne kvadratiske ligningen skjærer Y-aksen på punktet med koordinater (0, 112).
10. 10 Du har funnet (og plottet) toppunktet til parabolen, dens retning og skjæringspunktene med X- og Y -aksene. Du kan bygge paraboler fra disse punktene eller finne og plotte ytterligere punkter og først da bygge en parabel. For å gjøre dette, plugg inn flere x -verdier (på hver side av toppunktet) i den opprinnelige ligningen for å beregne de tilsvarende y -verdiene.
    • La oss gå tilbake til ligningen x + 2x + 1. Du vet allerede at skjæringspunktet for grafen til denne ligningen med X-aksen er punktet med koordinater (-1,0). Hvis parabolen bare har ett skjæringspunkt med X-aksen, er dette toppunktet til parabolen som ligger på X-aksen. I dette tilfellet er ikke ett punkt nok til å bygge en vanlig parabel. Så finn noen ekstra poeng.
      • La oss si x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Punktkoordinater: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Punktkoordinater: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Punktkoordinater: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Punktkoordinater: (-3,4).
      • Tegn disse punktene på koordinatplanet og tegn en parabel (koble punktene med en U-kurve). Vær oppmerksom på at parabolen er absolutt symmetrisk - ethvert punkt på en gren av parabolen kan speiles (i forhold til symmetriaksen) på den andre grenen av parabolen. Dette vil spare deg for tid, siden du ikke trenger å beregne koordinatene til punktene på begge grenene av parabolen.

Tips

• Avrund brøknummer (hvis dette er krav fra en lærer) - slik bygger du en korrekt parabel.
• Hvis i f (x) = ax + bx + c er koeffisientene b eller c lik null, så er det ingen termer med disse koeffisientene i ligningen.For eksempel blir 12x + 0x + 6 12x + 6 fordi 0x er 0.