Forfatter:
Lewis Jackson
Opprettelsesdato:
12 Kan 2021
Oppdater Dato:
1 Juli 2024
Innhold
Inversjon brukes ofte i kalkulator for å forenkle problematiske problemer på andre måter. For eksempel er det lettere å multiplisere med det inverse av en brøk enn det er å dele den direkte med det tallet. Dette er det omvendte. På samme måte, siden det ikke er noen brøktegn for matrisen, må du multiplisere dens inverse matrise. Å beregne den inverse matrisen til en 3x3 matrise kan være veldig kjedelig, men det er et problem det er verdt å vurdere. Du kan også bruke en avansert grafkalkulator for å gjøre dette.
Fremgangsmåte
Metode 1 av 3: Lag en ekstra matrise for å finne den inverse matrisen
Sjekk determinanten til matrisen. Det første trinnet: Finn determinanten til matrisen. Hvis determinanten er 0, er det gjort: denne matrisen er ikke reversibel. Determinanten til en matrise M kan betegnes det (M).
- For å finne det omvendte av en 3x3 matrise, må du først beregne dens determinant.
- For å se hvordan du finner determinanten til en matrise, se artikkelen Finding 3x3 matrix determinants.
Opprinnelig matrisetransposisjon. Transposisjon betyr å reflektere matrisen over hoveddiagonalen, eller med andre ord, å bytte ut elementet (i, j) og elementet (j, i). Når du transponerer elementer i en matrise, forblir hoveddiagonalen (som går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre hjørne) konstant.- En annen måte å forstå transponering på er at du vil omskrive matrisen slik at den første raden blir den første kolonnen, den midterste raden blir den midterste kolonnen og den tredje raden blir den tredje kolonnen. Legg merke til fargelementene i illustrasjonen ovenfor og legg merke til den nye plasseringen av tallene.
Finn determinanten til hver 2x2 submatrise. Alle elementene i den nye 3x3 forskyvningsmatrisen er koblet til en tilsvarende 2x2 'sub' matrise. For å finne undermatrisen til hvert element, merk først raden og kolonnen til det første elementet. Alle 5 elementene blir uthevet. De resterende fire elementene danner delmatrisen.- I eksemplet ovenfor, hvis du vil finne en undermatrise av elementet i rad to, kolonne en, markerer du fem orddeler i andre rad og første kolonne. De resterende fire elementene er den tilsvarende undermatrisen.
- Finn determinanten til hver submatrise ved å multiplisere diagonalt og trekke to produkter fra hverandre, som vist i figuren ovenfor.
- Les mer for å lære mer om undermatriser og deres bruk.
Lag en matrise av algebraiske underseksjoner. Plasser resultatet oppnådd fra forrige trinn i en ny matrise som består av algebraiske underseksjoner ved å plassere hver undermatrise-determinant i tilsvarende posisjon i den opprinnelige matrisen. Dermed blir determinanten beregnet fra elementet (1,1) til den opprinnelige matrisen plassert i posisjon (1,1). Deretter må du endre erstatningstegnet for denne nye matrisen i henhold til referansetabellen vist i illustrasjonen ovenfor.- Når du bestemmer tegnet, holdes merket for det første molekylet av ledningen. Det andre elementets tegn er omvendt. Tegnet på det tredje elementet er bevart. Fortsett slik for resten av matrisen. Merk at tegnet (+) eller (-) i referansediagrammet ikke indikerer at elementet til slutt vil ha et positivt eller negativt tegn. De viser bare at elementene vil holdes intakte (+) eller endres med (-).
- Se grunnleggende om matriser for mer om algebraiske vedlegg.
- Det endelige resultatet vi får i dette trinnet er den komplementære matrisen til den opprinnelige matrisen. Noen ganger kalles det også en konjugatmatrise og betegnes Adj (M).
Del alle elementene i komplementmatrisen med determinanten. Bruk determinanten til matrisen M du beregnet i første trinn (for å sjekke om matrisen er reversibel). Del nå hvert element i matrisen med denne verdien. Sett kvotienten til hver divisjon i posisjonen til det opprinnelige elementet, og vi får den inverse matrisen til den opprinnelige matrisen.
- Eksempelmatrisen presentert i illustrasjonen har determinant på 1. Når vi deler hvert element i den komplementære matrisen med determinanten, oppnår vi oss selv (du vil ikke alltid være så heldig). .
- I stedet for å dele, demonstrerer noe dokumentasjon dette trinnet som å multiplisere hvert element av M med 1 / det (M). Matematisk er de likeverdige.
Metode 2 av 3: Reduser den lineære raden for å finne den inverse matrisen
Legg til enhetsmatrisen til den opprinnelige matrisen. Skriv grunnmatrisen M, tegn en vertikal linje til høyre for den matrisen, og skriv deretter enhetsmatrisen til høyre for denne linjen. På dette punktet har vi en matrise med tre rader og seks kolonner.
- Husk at identitetsmatrisen er en spesiell matrise med alle elementene i hoveddiagonalen, som går fra øverste venstre hjørne til nedre høyre hjørne, lik 1 og alle elementene i de gjenværende posisjonene er lik null.
Utfør en lineær radreduksjon. Målet her er å lage enhetsmatrisen i venstre del av den nylig utvidede matrisen. Når du utfører radreduksjonstrinnene til venstre, må du gjøre den tilsvarende delen til høyre - den delen som er enhetsmatrisen din.
- Husk at radreduksjon utføres som en kombinasjon av skalar multiplikasjon og radaddisjon eller subtraksjon, for å isolere individuelle elementer i matrisen.
Fortsett til enhetsmatrisen er dannet. Fortsett den lineære reduksjonen til identitetsmatrisen vises (elementene på diagonalen er lik 1, andre elementer er lik 0) i venstre del av den utvidede matrisen. Når dette trinnet er nådd, er den høyre delen av den vertikale skillelinjen den omvendte matrisen til den opprinnelige matrisen.
Skriv omvendt matrise. Dupliser elementene for øyeblikket på høyre del av den vertikale skillelinjen, og det er din inverse matrise. annonse
Metode 3 av 3: Finn invers matrise med lommekalkulator
Velg en kalkulator som kan løse matriser. En enkel kalkulator med fire funksjoner vil ikke kunne finne den inverse matrisen direkte for deg. Imidlertid, på grunn av matematisk repetisjon, kan en avansert grafisk kalkulator, for eksempel Texas Instruments TI-83 eller TI-86, redusere arbeidet ditt å gjøre.
Skriv inn matrisen i kalkulatoren. Først går du inn i Matrix-funksjonen til kalkulatoren din ved å trykke Matrix-tasten, hvis den er tilgjengelig på enheten din. Med Texas Instruments-maskinen må du trykke på 2 Matrix.
Velg undermenyen Rediger. For å få tilgang til denne undermenyen, kan det hende du må bruke pilknappene eller velge de aktuelle funksjonstastene i den øverste raden på tastaturet, avhengig av utformingen.
Velg et navn på matrisen. De fleste lommeregner er utstyrt for å fungere med 3 til 10 matriser, navngitte bokstaver, A til J. Normalt, la oss begynne med. Trykk Enter for å bekrefte valg av navn.
Angi matrisestørrelsen. Denne artikkelen fokuserer på 3x3 matriser. Lommekalkulatorer kan imidlertid håndtere større matriser. Angi antall rader, trykk Enter, skriv deretter inn kolonnenummeret og trykk Enter.
Skriv inn hvert element i matrisen. En matrise vises på dataskjermen. Hvis du har jobbet med matrisefunksjonen før, vises matrisen du jobbet med før på skjermen. Markøren markerer det første elementet i matrisen. Angi matriseverdien du vil løse, og trykk Enter. Markøren flytter seg automatisk til neste element og overskriver eventuelle tidligere verdier.
- Hvis du vil angi negative tall, bruker du kalkulatorens negative (-) knapp, ikke minus-tasten. Matrisefunksjonen vil ikke lese riktig.
- Hvis det er nødvendig, kan du bruke piltastene på kalkulatoren til å bevege deg gjennom matrisen.
Gå ut av matrisefunksjonen. Etter at du har angitt hele matriseverdien, trykk på Avslutt - Avslutt-tasten (eller 2 Avslutt, om nødvendig). Takket være det avslutter du Matrix-funksjonen og går tilbake til kalkulatorens hovedskjerm.
Bruk den inverse tasten for å finne den inverse matrisen. Først åpner du matrisefunksjonen og bruker navneknappen til å velge matrisenavnet du brukte til å gi matrisen din (det kan være). Deretter trykker du kalkulatorens omvendte tast. Avhengig av enheten din, kan det hende du må bruke knapp 2. Skjermbildet vises. Trykk på Enter, og den omvendte matrisen vises på skjermen.
- Ikke bruk ^ -knappen på datamaskinen din når du prøver å gå inn i A ^ -1 med individuelle klikk. Datamaskiner vil ikke forstå denne matematikken.
- Hvis du får en feilmelding når du trykker på den inverse tasten, er det mer sannsynlig at foreldrematriksen ikke er reversibel. Kanskje du bør gå tilbake og være kvalitativ for å avgjøre om det er årsaken til feilen.
Konverter den omvendte matrisen til riktig svar. Det første resultatet som datamaskinen returnerer, vises i desimal. Det er ikke nødvendigvis det "riktige" svaret for de fleste formål. Du bør konvertere dette desimalsvaret til en brøkdel om nødvendig (hvis heldig nok, er alle resultatene heltall. Det er imidlertid veldig sjelden).
- Kanskje har kalkulatoren din en funksjon som automatisk konverterer desimaler til brøker. For eksempel, når du bruker TI-86, kan du gå til Math-funksjonen, velge Diverse og deretter Frac og trykke Enter. Desimaler blir automatisk representert som brøker.
- De fleste grafiske kalkulatorer har firkantede parenteser (for TI-84, det vil si 2. + x og 2. + -) som lar deg skrive inn en matrise uten å bruke matrisefunksjonen. Merk: En kalkulator kan ikke formatere en matrise før enter / equal-tasten er brukt (noe som betyr at alt vil være på samme rad og ikke veldig hyggelig). annonse
Råd
- Du kan følge disse trinnene for å finne det omvendte av en matrise som ikke bare inneholder tall, men også variabler, ukjente eller til og med algebraiske uttrykk.
- Skriv ned alle trinnene, fordi det er ekstremt vanskelig å finne det inverse av en 3x3 matrise bare ved å gjøre matematikk.
- Det er kalkulatorprogrammer som hjelper deg med å finne inverse matriser, til og med 30x30 matriser.
- Uansett, sjekk nøyaktigheten av resultatet ved å multiplisere M med M. Du vil bekrefte at M * M = M * M = I. Hvor, I er enhetsmatrisen , består av elementer 1 plassert langs hoveddiagonalen og nuller andre steder. Hvis du ikke får slike resultater, må du ha gått galt et sted.
Advarsel
- Ikke alle 3x3 matriser har inverse matriser. Hvis determinanten er 0, er ikke denne matrisen reversibel (Merk at i formelen deler vi med det (M). Å dele med null er en ukjent operasjon).
